Z klocków w kształcie sześcianu Janek zbudował trzy prostopadłościany. Każdy prostopadłościan składa się z \(8\) klocków. Które zdanie jest prawdziwe?
Rozwiązanie
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli każdy prostopadłościan składa się z takiej samej liczby klocków, to na pewno wszystkie prostopadłościany mają jednakowe objętości. A czy pola powierzchni całkowitej będą jednakowe? Nie, zdecydowanie nie. Wyobraźmy sobie, że każdy sześcian ma bok o długości \(x\) i układamy takie oto dwie bryły:
Krok 2. Pokazanie, że pola powierzchni brył są różne.
W pierwszej sytuacji mamy prostopadłościan składający się z \(8\) klocków ułożonych jeden bok drugiego. Taki prostopadłościan ma dwie ściany o polu \(x\cdot x=x^2\) i cztery ściany o polu \(8x\cdot x=8x^2\). Pole powierzchni całkowitej tej bryły wyniesie wtedy:
$$P_{c1}=2\cdot x^2+4\cdot8x^2 \\
P_{c1}=2x^2+32x^2 \\
P_{c1}=34x^2$$
Z tych samych ośmiu klocków możemy też ułożyć duży sześcian o krawędzi \(2x\). Taki sześcian ma sześć ścian, każda o polu \(2x\cdot2x=4x^2\). Pole powierzchni całkowitej wyniesie więc:
$$P_{c2}=6\cdot4x^2 \\
P_{c2}=24x^2$$
Widzimy wyraźnie, że pola powierzchni całkowitej są różne. W zasadzie nie musimy już określić, że akurat najmniejsze pole powierzchni będzie mieć sześcian, bo i bez tej wiedzy widzimy, że pasuje nam jedynie odpowiedź B.
