Rozwiązanie
I sposób - korzystając z rysunku:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie wykres funkcji \(f(x)=\frac{1}{2}x^2\) oraz funkcję \(g(x)\), będącą przesunięciem funkcji \(f(x)\) o cztery jednostki w prawo:
Krok 2. Odczytanie rozwiązania zadania.
Z rysunku wynika, że funkcja \(g(x)\) przyjmuje wartości większe od \(2\) dla:
$$x\in(-\infty;2)\cup(6;+\infty)$$
II sposób - korzystając ze wzoru funkcji:
Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji \(g(x)\).
Przesunięcie funkcji o cztery jednostki w prawo powoduje, że we wzorze funkcji wartość stojącą przy iksie musimy pomniejszyć o \(4\). To oznacza, że \(g(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2\).
Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie nierówności kwadratowej.
Musimy odpowiedzieć na pytanie kiedy nasza funkcja przyjmuje wartości większe od \(2\), czyli kiedy zajdzie nierówność:
$$\frac{1}{2}(x-4)^2\gt2$$
Najprościej będzie chyba wymnożyć obydwie strony przez \(2\) i doprowadzić nierówność do postaci ogólnej z której potem obliczymy deltę:
$$\frac{1}{2}(x-4)^2\gt2 \quad\bigg/\cdot2 \\
(x-4)^2\gt4 \\
x^2-8x+16\gt4 \\
x^2-8x+12\gt0$$
Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=12\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot12=64-48=16 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-4}{2\cdot1}=\frac{8-4}{2}=\frac{4}{2}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+4}{2\cdot1}=\frac{8+4}{2}=\frac{12}{2}=6$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane ku górze. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy wykres paraboli:
Punkty \(x=2\) oraz \(x=6\) mają niezamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\).
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości większe od zera dla \(x\in(-\infty;2)\cup(6;+\infty)\) i taka też jest nasza ostateczna odpowiedź.
