Wykaż, że trapez, w którym przekątne dzielą kąty przy dłuższej podstawie na połowy, jest równoramienny

Wykaż, że trapez, w którym przekątne dzielą kąty przy dłuższej podstawie na połowy, jest równoramienny.

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy przedstawić sytuację z treści zadania na rysunku poglądowym:

matura z matematyki

Krok 2. Dostrzeżenie kątów naprzemianległych.
W trapezie podstawy są względem siebie równoległe, zatem prowadząc prostą przecinającą te proste równoległe (w naszym przypadku są to przekątne) możemy korzystać z własności kątów naprzemianległych i tak oto otrzymamy następującą sytuację:

matura z matematyki

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Spójrzmy na trójkąt \(ACD\). Jest to trójkąt, który przy podstawie ma kąty tej samej miary \(α\). To oznacza, że jest to trójkąt równoramienny. Analogiczny wniosek dotyczy trójkąta \(BCD\). Możemy więc zapisać, że:
$$|AD|=|DC| \\
|DC|=|BC|$$

Łącząc te dwie równości możemy zapisać, że \(|AD|=|DC|=|BC|\), co oznacza, że odcinek \(AD\) jest równy odcinkowi \(BC\) i właśnie to jest dowód na to, że ten trapez jest równoramienny.

Odpowiedź

Udowodniono wykorzystując własności kątów w trapezie.

Dodaj komentarz