Wykaż, że przekątna prostopadłościanu o krawędziach długości a, b, c ma długość √a^2+b^2+c^2

Wykaż, że przekątna prostopadłościanu o krawędziach długości \(a,b,c\) ma długość \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy prostopadłościanu.
Do wyznaczenia długości przekątnej bryły potrzebna nam będzie długość przekątnej podstawy, którą wyznaczymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa. Prostopadłościan ma krawędzie długości \(a\) oraz \(b\), zatem:
$$a^2+b^2=d^2 \\
d=\sqrt{a^2+b^2}$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu.
Znamy wyrażenie opisujące długość przekątnej podstawy, wiemy że wysokość prostopadłościanu jest równa \(c\), zatem ponownie korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$d^2+c^2=s^2 \\
(\sqrt{a^2+b^2})^2+c^2=s^2 \\
s^2=a^2+b^2+c^2 \\
s=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

Otrzymany wynik jest dokładnie tym co znalazło się w treści zadania, zatem dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Odpowiedź

Udowodniono korzystając z Twierdzenia Pitagorasa.

Dodaj komentarz