Wykaż, że liczba 4^2017+4^2018+4^2019+4^2020 jest podzielna przez 17

Wykaż, że liczba \(4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}\) jest podzielna przez \(17\).

Rozwiązanie:

Aby wykazać, że dana liczba jest podzielna przez \(17\) to dobrze byłoby zamienić to dodawanie na iloczyn liczb (wyłączając przed nawias odpowiednie wartości) i to w taki sposób by jednym z czynników była albo liczba \(17\) albo jej wielokrotność. Na początku warto wyciągnąć przed nawias wartość \(4^{2017}\):
$$4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}= \\
=4^{2017}\cdot(1+4^1+4^2+4^3)= \\
=4^{2017}\cdot(1+4+16+64)= \\
=4^{2017}\cdot85= \\
=4^{2017}\cdot17\cdot5$$

Doprowadzenie równania do tej postaci kończy nasz dowód, bo skoro jednym z czynników równania jest liczba \(17\), to całe działanie jest także podzielne przez \(17\).

Odpowiedź:

Udowodniono wyłączając odpowiednie czynniki przed nawias.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.