Wykaż, że jeżeli x>y i 2(x-1)(x+1)-2y(2x-y)=-1, to x-y=√2/2

Wykaż, że jeżeli $x\gt y$ i $2(x-1)(x+1)-2y(2x-y)=-1$, to $x-y=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Rozwiązanie

Wymnażając poszczególne jednomiany otrzymamy:
$$2(x-1)(x+1)-2y(2x-y)=-1 \\
2(x^2-1)-4xy+2y^2=-1 \\
2x^2-2-4xy+2y^2=-1 \\
2x^2-4xy+2y^2=1 \\
2(x^2-2xy+y^2)=1 \\
x^2-2xy+y^2=\frac{1}{2} \\
(x-y)^2=\frac{1}{2} \\
x-y=\sqrt{\frac{1}{2}} \\
x-y=\frac{1}{\sqrt{2}} \\
x-y=\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
x-y=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Odpowiedź

Udowodniono wymnażając poszczególne wielomiany.

Zadania

Wykaż, że jeżeli x>y i 2(x-1)(x+1)-2y(2x-y)=-1, to x-y=√2/2

Wykaż, że jeżeli \(x\gt y\) i \(2(x-1)(x+1)-2y(2x-y)=-1\), to \(x-y=\frac{\sqrt{2}}{2}\).