Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunek abc=1, to a^-1+b^-1+c^-1=ab+ac+bc

Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste $a, b, c$ spełniają warunek $abc=1$, to $a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=ab+ac+bc$.

Rozwiązanie:

Krok 1. Obliczenie wartości potęgowanych wyrazów.

Podniesienie liczby do potęgi $-1$ daje wynik, który jest odwrotnością potęgowanej liczby. To oznacza, że:
$$a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$

Krok 2. Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika.

Aby móc dodać do siebie te wszystkie ułamki musimy je sprowadzić do wspólnego mianownika. W naszym przypadku wspólnym mianownikiem będzie $abc$, zatem:
$$\require{cancel}
\frac{1\cdot \cancel{a}bc}{\cancel{a}\cdot abc}+\frac{1\cdot a\cancel{b}c}{\cancel{b}\cdot abc}+\frac{1\cdot ab\cancel{c}}{\cancel{c}\cdot abc}= \\
=\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}+\frac{ab}{abc}=\frac{bc+ac+ab}{abc}$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.

Z treści zadania wynika, że $abc=1$, zatem:
$$a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{bc+ac+ab}{1}= \\
=bc+ac+ab=ab+ac+bc$$

W ten oto sposób dowód możemy uznać za zakończony.

Odpowiedź:

Udowodniono sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika.

Zadania

Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunek abc=1, to a^-1+b^-1+c^-1=ab+ac+bc

Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste \(a, b, c\) spełniają warunek \(abc=1\), to \(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=ab+ac+bc\).