Wykaż, że jeżeli liczby a i b są kolejnymi liczbami naturalnymi, to liczba (a+1/2b)^2-(a-1/2b)^2

Wykaż, że jeżeli liczby $a$ i $b$ są kolejnymi liczbami naturalnymi, to liczba $\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2-\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2$ jest podzielna przez $4$.

Rozwiązanie

Krok 1. Rozpisanie liczby z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.
Korzystając z wzorów skróconego mnożenia otrzymamy:
$$\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2-\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2= \\
=\left(a^2+ab+\frac{1}{4}b^2\right)-\left(a^2-ab+\frac{1}{4}b^2\right)= \\
=a^2+ab+\frac{1}{4}b^2-a^2+ab-\frac{1}{4}b^2=2ab$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Jeżeli liczby $a$ oraz $b$ są kolejnymi liczbami naturalnymi, to jedna z nich jest liczbą parzystą. Pomnożenie liczby parzystej przez $2$ (a pomnożymy ją przez $2$, bo mamy zapis $2ab$) sprawi, że ta liczba na pewno będzie podzielna przez $4$. W ten sposób dowodzenie można uznać za zakończone.

Odpowiedź

Udowodniono rozpisując liczbę z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.

Zadania

Wykaż, że jeżeli liczby a i b są kolejnymi liczbami naturalnymi, to liczba (a+1/2b)^2-(a-1/2b)^2

Wykaż, że jeżeli liczby \(a\) i \(b\) są kolejnymi liczbami naturalnymi, to liczba \(\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2-\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2\) jest podzielna przez \(4\).