Wykaż, że jeżeli alfa jest kątem ostrym i tg alfa=2, to cos alfa jest liczbą niewymierną

Wykaż, że jeżeli \(α\) jest kątem ostrym i \(tgα=2\), to \(cosα\) jest liczbą niewymierną.

Rozwiązanie

Krok 1. Zbudowanie układu równań.
Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) oraz że \(sin^2α+cos^2α=1\). Skoro tak, to spróbujmy z tych własności oraz z danych z treści zadania ułożyć następujący układ równań:
$$\begin{cases}
\frac{sinα}{cosα}=2 \\
sin^2α+cos^2α=1
\end{cases}$$

Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Najprościej będzie chyba wyznaczyć sinusa z pierwszego równania i podstawić go do drugiego równania, zatem:
$$\begin{cases}
\frac{sinα}{cosα}=2 \quad\bigg/\cdot cosα \\
sin^2α+cos^2α=1
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
sinα=2cosα \\
sin^2α+cos^2α=1
\end{cases}$$

Podstawiając sinusa z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$(2cosα)^2+cos^2α=1 \\
4cos^2α+cos^2α=1 \\
5cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{1}{5} \\
cosα=\sqrt{\frac{1}{5}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{1}{5}}$$

Ujemną wartość odrzucamy, bo mamy podaną informację że \(α\) jest kątem ostrym, a dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie. To oznacza, że \(cosα=\sqrt{\frac{1}{5}}\), a skoro \(\sqrt{\frac{1}{5}}\) jest liczbą niewymierną, to na tym możemy zakończyć dowodzenie.

Odpowiedź

Udowodniono obliczając wartość cosinusa.

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments