Wykaż, że jeżeli alfa jest kątem ostrym i sin alfa+cos alfa=6/5, to sin alfa * cos alfa=0,22

Wykaż, że jeżeli \(α\) jest kątem ostrym i \(sinα+cosα=\frac{6}{5}\), to \(sinα\cdot cosα=0,22\).

Rozwiązanie

To na czym możemy się oprzeć przy tego typu zadaniach to jest z pewnością jedynka trygonometryczna \(sin^2+cos^2=1\). Spróbujmy więc podnieść obustronnie do kwadratu równanie z treści zadania, tak aby można było się do tej jedynki trygonometrycznej później odnosić:
$$(sinα+cosα)^2=\left(\frac{6}{5}\right)^2 \\
sin^2α+2sinαcosα+cos^2α=\frac{36}{25} \\
sin^2α+cos^2α+2sinαcosα=\frac{36}{25} \\
1+2sinαcosα=\frac{36}{25} \\
2sinαcosα=\frac{11}{25} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{2} \\
sinαcosα=\frac{11}{50}=0,22$$

Odpowiedź

Udowodniono obliczając wartość całego wyrażenia.

Dodaj komentarz