Wykaż, że jeżeli a>0 i b>0 oraz √a^2+b=√a+b^2, to a=b lub a+b=1

Wykaż, że jeżeli $a\gt0$ i $b\gt0$ oraz $\sqrt{a^2+b}=\sqrt{a+b^2}$, to $a=b$ lub $a+b=1$.

Rozwiązanie:

Krok 1. Uproszczenie równania i pozbycie się pierwiastka.

Aby udowodnić powyższą tezę przekształćmy nasze równanie, zaczynając od pozbycia się z niego pierwiastka:
$$\sqrt{a^2+b}=\sqrt{a+b^2} \\
a^2+b=a+b^2 \\
a^2-b^2-a+b=0$$

Krok 2. Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia i zapisanie równania w postaci iloczynowej.

Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$, zatem:
$$(a+b)(a-b)-a+b=0$$

Teraz spróbujmy wziąć w nawias ostatnie dwa wyrazy po lewej stronie, uważając na to że musimy zmienić znak, bo przed nawiasem będzie stał minus:
$$(a+b)(a-b)-(a-b)=0 \\
(a+b)(a-b)-1(a-b)=0$$

Już jesteśmy bardzo blisko rozwiązania tego zadania. Musimy teraz zamienić to równanie na postać iloczynową, wyłączając przed nawias $(a-b)$, zatem:
$$(a-b)(a+b-1)=0$$

Krok 3. Rozwiązanie równania.

Mając postać iloczynową wiemy, że aby to równanie było równe zero, to:
$$a-b=0 \quad\lor\quad a+b-1=0 \\
a=b \quad\lor\quad a+b=1$$

Otrzymaliśmy wyniki dokładnie takie jak w treści zadania, co kończy nasz dowód.

Odpowiedź:

Udowodniono przekształcając równanie i korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Zadania

Wykaż, że jeżeli a>0 i b>0 oraz √a^2+b=√a+b^2, to a=b lub a+b=1

Wykaż, że jeżeli \(a\gt0\) i \(b\gt0\) oraz \(\sqrt{a^2+b}=\sqrt{a+b^2}\), to \(a=b\) lub \(a+b=1\).