Wykaż, że jeśli liczby (3^a, 3^b, 3^c) tworzą ciąg geometryczny, to liczby (a, b, c) tworzą ciąg arytmetyczny

Wykaż, że jeśli liczby \((3^a,3^b,3^c)\) tworzą ciąg geometryczny, to liczby \((a,b,c)\) tworzą ciąg arytmetyczny.

Rozwiązanie

Krok 1. Skorzystanie z własności trzech sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego.
Dla trzech sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając wyrazy z treści zadania otrzymamy:
$$(3^b)^2=3^a\cdot3^c \\
3^{2b}=3^{a+c}$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Otrzymaliśmy równanie w którym po lewej i prawej stronie znajduje się trójka w podstawie potęgi. Skoro tak, to możemy "skrócić" te trójki i zostaje nam proste równanie:
$$2b=a+c \\
b=\frac{a+c}{2}$$

Otrzymaliśmy informację, że \(b\) jest równe \(\frac{a+c}{2}\), czyli jest to dokładnie ta sama zależność, która charakteryzuje ciągi arytmetyczne, bowiem w ciągach arytmetycznych dla trzech sąsiednich wyrazów zachodzi równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2} \\
b=\frac{a+c}{2}$$

To oznacza, że dowodzenie możemy uznać za skończone.

Odpowiedź

Udowodniono korzystając z własności ciągów geometrycznych i arytmetycznych.

Dodaj komentarz