Rozwiązanie
Krok 1. Skorzystanie z własności trzech sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego.
Dla trzech sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając wyrazy z treści zadania otrzymamy:
$$(3^b)^2=3^a\cdot3^c \\
3^{2b}=3^{a+c}$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Otrzymaliśmy równanie w którym po lewej i prawej stronie znajduje się trójka w podstawie potęgi. Skoro tak, to możemy "skrócić" te trójki i zostaje nam proste równanie:
$$2b=a+c \\
b=\frac{a+c}{2}$$
Otrzymaliśmy informację, że \(b\) jest równe \(\frac{a+c}{2}\), czyli jest to dokładnie ta sama zależność, która charakteryzuje ciągi arytmetyczne, bowiem w ciągach arytmetycznych dla trzech sąsiednich wyrazów zachodzi równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2} \\
b=\frac{a+c}{2}$$
To oznacza, że dowodzenie możemy uznać za skończone.
