Wykaż, że jeśli liczba rzeczywista a spełnia warunek a<1, to 1/1-a≥4a

Wykaż, że jeśli liczba rzeczywista \(a\) spełnia warunek \(a\lt1\), to \(\frac{1}{1-a}\ge4a\).

Rozwiązanie

Krok 1. Ustalenie znaku wyrażenia \(1-a\).
Na początku musimy ustalić, czy \(1-a\) jest liczbą dodatnią, czy ujemną. To jest wbrew pozorom klucz do poprawnego rozwiązania tego zadania. Dlaczego? To co chcielibyśmy zrobić na samym początku przy rozwiązywaniu tej nierówności to wymnożyć jedną i drugą stronę przez wartość \(1-a\). I to jest dobry pomysł, pod warunkiem że jesteśmy pewni czy nasza wartość \(1-a\) jest dodatnia, czy też ujemna. Jeżeli \(1-a\) byłoby ujemne, to musielibyśmy zmienić znak nierówności na przeciwny, stąd też tak ważne jest to aby ustalić znak tego wyrażenia.

Z założeń wynika, że \(a\lt1\). W związku z tym:
$$a\lt1 \\
0\lt1-a \\
1-a\lt0$$

Wartość \(1-a\) jest zawsze większa od zera, zatem wykonując mnożenie przez obie strony nierówności nie musimy zmieniać znaku.

Krok 2. Rozwiązanie nierówności.
$$\frac{1}{1-a}\ge4a \quad\bigg/\cdot(1-a) \\
1\ge4a(1-a) \\
1\ge4a-4a^2 \\
4a^2-4a+1\ge0 \\
(2a-1)^2\ge0$$

Z racji tego iż każda liczba podniesiona do kwadratu jest większa lub równa zero, to dowód możemy uznać za zakończony.

Odpowiedź

Udowodniono przekształcając nierówność.

Dodaj komentarz