Wykaż, że jeśli \(a\gt0\), to \(\frac{a^2+1}{a+1}\ge\frac{a+1}{2}\).
Analizujemy sytuację, w której \(a\gt0\). To bardzo ważna informacja, bo dzięki niej mamy pewność, że chcąc pomnożyć obie strony przez \(a+1\) nie zmieni nam się znak nierówności, bo \(a+1\) jest na pewno dodatnie. Przypomnę, że gdybyśmy pomnożyli nierówność przez wartość ujemną, to zmieniłby nam się jej znak. Tutaj takich obaw nie ma, dlatego możemy wymnożyć obie strony równania przez \(a+1\) oraz przez \(2\). Możemy to zrobić za jednym razem, albo też krok po kroku, aby uniknąć niepotrzebnych pomyłek.
$$\frac{a^2+1}{a+1}\ge\frac{a+1}{2} \quad\bigg/\cdot(a+1) \\
a^2+1\ge\frac{(a+1)\cdot(a+1)}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\
2a^2+2\ge(a+1)^2 \\
2a^2+2\ge a^2+2a+1 \\
a^2-2a+1\ge0$$
Teraz zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby:
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy zapisać, że \(a^2-2a+1=(a-1)^2\), a więc otrzymamy:
$$(a-1)^2\ge0$$
Każda liczba (czy to dodatnia, czy to ujemna) podniesiona do potęgi drugiej da nam wartość większą lub równą zero, więc udowodniliśmy że twierdzenie wskazane w zadaniu jest prawdziwe.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-2,\;c=1\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot1=4-4=0 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{0}=0$$
$$a=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1$$
Parabola ma ramiona skierowane ku górze, bo współczynnik kierunkowy \(a\) stojący przed wartością \(x^2\) jest dodatni. Wykres będzie więc wyglądał następująco:
Szukamy przedziałów, w których wykres naszej funkcji jest dodatni lub równy zero, czyli kiedy wykres jest nad osią lub na niej. Okazuje się, że każda liczba spełnia warunki naszego zadania, a to oznacza, że udowodniliśmy, że także liczby dodatnie \(a\gt0\) spełniają warunki tej nierówności.
Wykazano na podstawie rozwiązania tej nierówności.
