Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych a, b i c takich, że a+b/2>c i b+c/2>a

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych $a, b$ i $c$ takich, że $\frac{a+b}{2}\gt c$ i $\frac{b+c}{2}\gt a$, prawdziwa jest nierówność $\frac{a+c}{2}\lt b$

Rozwiązanie

Skoro $\frac{a+b}{2}\gt c$ oraz $\frac{b+c}{2}\gt a$, to możemy zapisać, że suma $\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}$ musi być większa od sumy $c+a$. Zapiszmy zatem, że:
$$\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}\gt c+a \\
\frac{a+2b+c}{2}\gt c+a \\
a+2b+c\gt2c+2a \\
2b\gt a+c \\
b\gt\frac{a+c}{2} \\
\frac{a+c}{2}\lt b$$

Odpowiedź

Udowodniono przekształcając podane nierówności.

Zadania

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych a, b i c takich, że a+b/2>c i b+c/2>a

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych \(a, b\) i \(c\) takich, że \(\frac{a+b}{2}\gt c\) i \(\frac{b+c}{2}\gt a\), prawdziwa jest nierówność \(\frac{a+c}{2}\lt b\)