Rozwiązanie
Kluczem do tego zadania jest pamiętanie o tym, że rozwiązując nierówności musimy być pewni tego przez jaką liczbę mnożymy obie strony nierówności. Gdyby to była liczba ujemna, to trzeba byłoby zmienić znak na przeciwny.
Z treści zadania wiemy, że liczby \(a\), \(b\) oraz \(c\) są dodatnie, więc możemy bez problemu mnożyć obie strony nierówności właśnie przez te liczby. Zaczynając od pomnożenia obydwu stron przez \(b\) otrzymamy;
$$\frac{a}{b}\lt\frac{a+c}{b+c} \quad\bigg/\cdot b \\
a\lt\frac{ab+bc}{b+c} \quad\bigg/\cdot(b+c) \\
a\cdot(b+c)\lt ab+bc \\
ab+ac\lt ab+bc\quad\bigg/-ab \\
ac\lt bc$$
I teraz mamy różne możliwości na zakończenie dowodzenia. Przykładowo:
I sposób:
Mając nierówność \(ac\lt bc\) możemy obustronnie odjąć \(bc\) i otrzymać informację, że:
$$ac-bc\lt0 \\
c(a-b)\lt0$$
Z treści zadania wiemy, że \(a\lt b\), więc wartość \(a-b\) znajdująca się w nawiasie musi być ujemna. Skoro liczba \(c\) jest dodatnia oraz \(a-b\) jest ujemne, to iloczyn tych dwóch liczb musi być mniejszy od zera, co należało właśnie udowodnić.
II sposób:
Mając postać \(ac\lt bc\) możemy wywnioskować, że skoro \(a\lt b\) i wszystkie liczby są dodatnie, to iloczyn \(ac\) musi być mniejszy od \(bc\), co także należało udowodnić.
III sposób:
Mając postać \(ac\lt bc\) możemy podzielić obie strony przez \(c\), otrzymując \(a\lt b\), co jest prawdą zgodnie z treścią zadania.
