Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że x≠y

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $x\neq y$, prawdziwa jest nierówność $(3x+y)(x+3y)\gt16xy$.

Rozwiązanie

Wymnażając nawiasy i przenosząc wszystko na lewą stronę, otrzymamy następującą sytuację:
$$(3x+y)(x+3y)\gt16xy \\
3x^2+9xy+xy+3y^2\gt16xy \\
3x^2+10xy+3y^2\gt16xy \\
3x^2-6xy+3y^2\gt0 \\
3\cdot(x^2-2xy+y^2)\gt0 \\
3\cdot(x-y)^2\gt0 \quad\bigg/\:3 \\
(x-y)^2\gt0$$

Skoro $x\neq y$, to $x-y$ jest liczbą różną od zera. Jakakolwiek liczba rzeczywista, różna od zera, podniesiona do kwadratu, da wynik większy od zera, co należało udowodnić.

Odpowiedź

Udowodniono upraszczając zapis i korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Zadania

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że x≠y

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(x\neq y\), prawdziwa jest nierówność \((3x+y)(x+3y)\gt16xy\).

Rozwiązanie

Odpowiedź