Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że x≠2y

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $x\neq2y$, prawdziwa jest nierówność $x^2+4y^2-4\gt4(xy-1)$.

Rozwiązanie

Kluczem do sukcesu będzie umiejętne przekształcenie podanej nierówności, a następnie "zwinięcie" zapisu z wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Całość będzie wyglądać następująco:
$$x^2+4y^2-4\gt4(xy-1) \\
x^2+4y^2-4\gt4xy-4 \\
x^2-4xy+4y^2\gt0 \\
(x-2y)^2\gt0$$

Z treści zadania wynika, że $x\neq2y$, więc wartość którą otrzymaliśmy w nawiasie jest na pewno różna od zera. Podnosząc dowolną liczbę rzeczywistą (różną od zera) do kwadratu, otrzymamy zawsze dodatni wynik, co należało właśnie udowodnić.

Odpowiedź

Można doprowadzić do postaci $(x-2y)^2\gt0$

Zadania

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że x≠2y

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(x\neq2y\), prawdziwa jest nierówność \(x^2+4y^2-4\gt4(xy-1)\).

Rozwiązanie

Odpowiedź