Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x≠1 i dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x^2+49y^2

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq1$ i dla każdej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność

$$x^2+49y^2\lt2(x+7y-1)$$

Rozwiązanie

Wymnażając i przekształcając podaną nierówność, otrzymamy następującą sytuację:
$$x^2+49y^2\lt2x+14y-2 \\
x^2+49y^2-2x-14y+2\lt0$$

I teraz najtrudniejsza część tego przekształcenia. Powinniśmy dostrzec, że będziemy dążyć do tego, by osobno "zwinąć" iksy, i osobno igreki (za pomocą oczywiście wzorów skróconego mnożenia). Aby to było możliwe, trzeba będzie rozbić liczbę $2$ na sumę $1+1$, a całość będzie wyglądać następująco:
$$x^2+49y^2-2x-14y+1+1\lt0 \\
x^2-2x+1+49y^2-14y+1\lt0 \\
(x-1)^2+(7y-1)^2\lt0$$

Z treści zadania wiemy, że $x$ jest liczbą różną od zera, więc wartość $(x-1)^2$ na pewno jest dodatnia (jakakolwiek liczba różna od zera podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni). Wartość $(7y-1)^2$ będzie albo równa zero, albo też będzie dodatnia (czyli będzie nieujemna), bo każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni lub równy zero. Mamy więc sumę liczby dodatniej oraz nieujemnej, a więc sumę, która na pewno będzie większa od zera, co należało udowodnić.

Odpowiedź

Udowodniono przekształcając zapis i korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Zadania

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x≠1 i dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x^2+49y^2<2(x+7y-1)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność

$$x^2+49y^2\lt2(x+7y-1)$$

Rozwiązanie

Odpowiedź

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność $$x^2+49y^2\lt2(x+7y-1)$$

Rozwiązanie

Odpowiedź

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność

$$x^2+49y^2\lt2(x+7y-1)$$