Rozwiązanie
Krok 1. Rozpisanie nierówności.
Kluczem do sukcesu w tym zadaniu będzie rozbicie \(-10y^2\) na sumę \(-4y^2\) oraz \(-6y^2\), a następnie odpowiednie pogrupowanie wyrazów. Obliczenia wyglądałyby następująco:
$$x^2+3xy-10y^2\gt0 \\
x^2+3xy-4y^2-6y^2\gt0 \\
x^2-4y^2+3xy-6y^2\gt0 \\
x^2-4y^2+3y(x-2y)\gt0$$
Wyrażenie \(x^2-4y^2\) możemy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) rozpisać jako \((x-2y)(x+2y)\). Wracając więc do naszego przykładu, otrzymamy postać:
$$(x-2y)(x+2y)+3y(x-2y)\gt0$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Z treści zadania wiemy, że \(x\gt2y\), czyli że \(x-2y\gt0\). Spójrzmy teraz na naszą nierówność:
· w pierwszym nawiasie mamy \(x-2y\), co jak przed chwilą zapisaliśmy, musi być liczbą dodatnią;
· w drugim nawiasie mamy \(x+2y\) i to także jest wartość dodatnia, ponieważ z treści zadania wiemy, że \(x\) oraz \(y\) są dodatnie;
· następnie mamy \(+3y\), które także będzie dodatnie, bo \(y\) jest dodatni;
· i w ostatnim nawiasie ponownie mamy \(x-2y\), co jak już ustaliliśmy, będzie dodatnie.
Po lewej stronie mamy więc sytuację, w której mnożymy przez siebie dwie liczby dodatnie i dodajemy do tego iloczyn kolejnych dwóch dodatnich liczb. Otrzymany wynik będzie zatem na pewno większy od zera, co należało udowodnić.
