Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a różnej od 0 i każdej liczby rzeczywistej b różnej od 0

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) różnej od \(0\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) różnej od \(0\) spełniona jest nierówność \(2a^2-4ab+5b^2\gt0\).

Rozwiązanie

Aby móc wykonać to zadanie, musimy w pewien sprytny sposób przekształcić podaną nierówność, tak aby móc później zwinąć całość lub część zapisu przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Przykładowo, moglibyśmy rozbić \(2a^2\) na \(a^2+a^2\) oraz \(5b^2\) na \(4b^2+b^2\), co sprawi, iż otrzymamy następującą sytuację:
$$2a^2-4ab+5b^2\gt0 \\
a^2+a^2-4ab+4b^2+b^2\gt0 \\
a^2-4ab+4b^2+a^2+b^2\gt0 \\
(a-2b)^2+a^2+b^2\gt0$$

Każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny (czyli dodatni lub równy zero). Wartość \((a-2b)^2\) jest więc na pewno nieujemna. Zostaje nam jeszcze \(a^2\), który jest na pewno dodatni (bo \(a\) jest różne od zera) i \(b^2\), który jest także dodatni (bo \(b\) jest także różne od zera). To oznacza, że lewa strona jest na pewno większa od zera, co należało udowodnić.

Ewentualnie moglibyśmy dokonać jeszcze takiego rozbicia:
$$2a^2-4ab+5b^2\gt0 \\
2(a^2-2ab+b^2)+3b^2\gt0 \\
2(a-b)^2+3b^2\gt0$$

I tu uzasadnienie jest bardzo podobne - wartość \(2(a-b)^2\) jest na pewno nieujemna, a \(3b^2\) jest na pewno dodatnie, więc lewa strona nierówności jest większa od zera.

Odpowiedź

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments