Rozwiązanie
Aby móc wykonać to zadanie, musimy w pewien sprytny sposób przekształcić podaną nierówność, tak aby móc później zwinąć całość lub część zapisu przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Przykładowo, moglibyśmy rozbić \(2a^2\) na \(a^2+a^2\) oraz \(5b^2\) na \(4b^2+b^2\), co sprawi, iż otrzymamy następującą sytuację:
$$2a^2-4ab+5b^2\gt0 \\
a^2+a^2-4ab+4b^2+b^2\gt0 \\
a^2-4ab+4b^2+a^2+b^2\gt0 \\
(a-2b)^2+a^2+b^2\gt0$$
Każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny (czyli dodatni lub równy zero). Wartość \((a-2b)^2\) jest więc na pewno nieujemna. Zostaje nam jeszcze \(a^2\), który jest na pewno dodatni (bo \(a\) jest różne od zera) i \(b^2\), który jest także dodatni (bo \(b\) jest także różne od zera). To oznacza, że lewa strona jest na pewno większa od zera, co należało udowodnić.
Ewentualnie moglibyśmy dokonać jeszcze takiego rozbicia:
$$2a^2-4ab+5b^2\gt0 \\
2(a^2-2ab+b^2)+3b^2\gt0 \\
2(a-b)^2+3b^2\gt0$$
I tu uzasadnienie jest bardzo podobne - wartość \(2(a-b)^2\) jest na pewno nieujemna, a \(3b^2\) jest na pewno dodatnie, więc lewa strona nierówności jest większa od zera.
Czemu w drugim rozwiązaniu jest reszta 3b2, a nie 4b2?
Bo tam z przodu jest dwójka, więc mamy tam 2b^2, stąd zostaje nam jeszcze 3b^2 :)
a można to zapisać w taki sposób?
(2a-b)^2 +4b^2 > 0
A można :)
Ja do tego podszedłem zupełnie inaczej i myślę, że dobrze. uznałem, że to funkcja, a w tym wyrażeniu a to x, natomiast b zwykła liczba wtedy delta = 16b^2 – 4 * 2 * 5b^2 = 16b^2 – 40b^2 = -24b^2 -24b^2 < 0 (zawsze mniejsze od zera ponieważ b^2 dla b różnego od 0 jest zawsze dodatnie, a liczba dodatnia * liczba ujemna = liczba ujemna) co pokazuje brak miejsc zerowych, ponieważ delta przyjmuje ujemne wartości współczynnik a funkcji to 2, a więc jest dodatni co pokazuje że parabola ma ramiona skierowane do góry teraz można narysować parabolę nieprzecinającą… Czytaj więcej »