Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b takich, że b≠a, spełniona jest nierówność

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\neq a\), spełniona jest nierówność

$$\dfrac{a^2+b^2}{2}\gt\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$$

Rozwiązanie

Krok 1. Przekształcenie równania.
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy zapisać, że:
$$\frac{a^2+b^2}{2}\gt\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \\
\frac{a^2+b^2}{2}\gt\frac{a^2+2ab+b^2}{4} \quad\bigg/\cdot4 \\
2\cdot(a^2+b^2)\gt a^2+2ab+b^2 \\
2a^2+2b^2\gt a^2+2ab+b^2 \\
a^2+b^2\gt 2ab \\
a^2-2ab+b^2\gt0 \\
(a-b)^2\gt0$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Z treści zadania wiemy, że \(b\neq a\), co prowadzi nas do wniosku, że różnica \(a-b\) jest na pewno różna od zera. Kwadrat dwóch liczb rzeczywistych różnych od zera jest zawsze większy od zera, zatem dowód możemy uznać za zakończony.

Odpowiedź

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments