Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b takich, że b≠a, spełniona jest nierówność

Krok 1. Przekształcenie równania.
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy zapisać, że:
$$\frac{a^2+b^2}{2}\gt\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \\
\frac{a^2+b^2}{2}\gt\frac{a^2+2ab+b^2}{4} \quad\bigg/\cdot4 \\
2\cdot(a^2+b^2)\gt a^2+2ab+b^2 \\
2a^2+2b^2\gt a^2+2ab+b^2 \\
a^2+b^2\gt 2ab \\
a^2-2ab+b^2\gt0 \\
(a-b)^2\gt0$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Z treści zadania wiemy, że \(b\neq a\), co prowadzi nas do wniosku, że różnica \(a-b\) jest na pewno różna od zera. Kwadrat dwóch liczb rzeczywistych różnych od zera jest zawsze większy od zera, zatem dowód możemy uznać za zakończony.