Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej liczby rzeczywistej $b$ takiej, że $b\neq a$, prawdziwa jest nierówność $a^2+3b^2+4\gt2a+6b$.

Rozwiązanie

Kluczem do sukcesu w tym zadaniu będzie przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę i rozbicie liczby $4$ na sumę $1+3$, co pozwoli później "zwinąć" zapisy przy wykorzystaniu wzorów skróconego mnożenia. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$a^2+3b^2+4\gt2a+6b \\
a^2+3b^2+4-2a-6b\gt0 \\
a^2-2a+1+3b^2-6b+3\gt0 \\
(a-1)^2+3\cdot(b^2-2b+1)\gt0 \\
(a-1)^2+3\cdot(b-1)^2\gt0$$

Jakakolwiek liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni lub równy $0$. Z założeń z treści zadania wynika, że $b\neq a$, co prowadzi nas do wniosku, że przynajmniej jeden z nawiasów podniesiony do kwadratu da liczbę dodatnią, co z kolei sprawi, że suma po lewej stronie będzie na pewno dodatnia, co należało udowodnić.

Odpowiedź

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Zadania

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) takiej, że \(b\neq a\), prawdziwa jest nierówność \(a^2+3b^2+4\gt2a+6b\).

Rozwiązanie

Odpowiedź