Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 5n^2+15n jest podzielna przez 10

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(5n^2+15n\) jest podzielna przez \(10\).

Rozwiązanie

Wyłączając wspólny czynnik przed nawias, otrzymamy następującą postać:
$$5n^2+15n=5n(n+3)$$

Taki zapis oznacza, że ta liczba na pewno jest podzielna przez \(5\). Jak jednak udowodnić, że jest podzielna przez \(10\)? Tu powinniśmy dostrzec, że jeżeli \(n\) jest liczbą parzystą, to \(n+3\) jest liczbą nieparzystą i na odwrót - jeśli \(n\) jest liczbą nieparzystą, to \(n+3\) jest liczbą parzystą. To oznacza, że mnożenie \(n\cdot(n+3)\) jest zawsze mnożeniem liczby parzystej z nieparzystą, a wynik takiego mnożenia zawsze daje liczbę parzystą, czyli tym samym liczbę podzielną przez \(2\). Z tego wynika, że nasza liczba jest podzielna jednocześnie przez \(5\) i przez \(2\), czyli tym samym jest podzielna przez \(10\), co należało udowodnić.

Odpowiedź

Udowodniono, rozpisując iloczyn do postaci np. \(5n(n+3)\).

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments