Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 10n^2+30n+8 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $10n^2+30n+8$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $3$.

Rozwiązanie

Kluczem do sukcesu będzie rozbicie liczby $8$ na sumę $5+3$. To pozwoli nam wyłączyć wspólny czynnik równy $5$ z podanego wyrażenia. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$10n^2+30n+8= \\
=10n^2+30n+5+3= \\
=5\cdot(2n^2+6n+1)+3$$

Wartość $2n^2+6n+1$ jest na pewno dodatnią liczbą całkowitą, ponieważ mamy tutaj same liczby naturalne, które są do siebie dodawane. To oznacza, że dzieląc liczbę $10n^2+30n+8$ przez $5$ otrzymamy właśnie $2n^2+6n+1$, a stojąca na końcu liczba $3$ to reszta z tego dzielenia, co należało udowodnić.

Odpowiedź

Udowodniono wyłączając wspólny czynnik przed nawias.

Zadania

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 10n^2+30n+8 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(10n^2+30n+8\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(3\).