Rozwiązanie
Wyłączając wspólny czynnik przed nawias, otrzymamy:
$$5n^3-5n=5n(n^2-1)$$
Teraz powinniśmy dostrzec, że \(n^2-1\) da się rozpisać zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \((a^2-b^2)=(a+b)(a-b)\), zatem mamy:
$$5n\cdot(n+1)\cdot(n-1)$$
Aby lepiej dostrzec pewne kwestie, moglibyśmy jeszcze rozpisać to w taki sposób:
$$5\cdot(n-1)\cdot n\cdot(n+1)$$
\(n-1\), \(n\) oraz \(n+1\) to nic innego jak trzy kolejne liczby naturalne, a skoro tak, to jedna z nich musi być liczbą podzielną przez \(2\), a jedna z nich będzie na pewno podzielna przez \(3\). Tym samym iloczyn tych liczb będzie podzielny przez \(6\). To sprawia, że \(5\cdot(n-1)\cdot n\cdot(n+1)\) będzie liczbą podzielną przez \(5\cdot6\), czyli przez \(30\), co należało udowodnić.
