Rozwiązanie
Krok 1. Rozpisanie liczby.
Kluczem do sukcesu będzie wyłączenie przed nawias wartości \(3n\) i rozpisanie naszej liczby w następujący sposób:
$$3n^3+18n^2+15n=3n\cdot(n^2+6n+5)$$
Musimy teraz rozbić wyrażenie \(n^2+6n+5\) na postać iloczynową. Jeśli mamy dużą wprawę, to od ręki możemy zapisać, że to będzie równe \((n+1)(n+5)\). Jeśli jednak nie jesteśmy w stanie tego wyznaczyć w pamięci, to możemy zachować się dokładnie tak samo jak przy rozwiązywaniu równań kwadratowych, więc korzystamy z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=6,\;c=5\)
$$Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot5=36-20=16 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$
$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-6-4}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5 \\
n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-6+4}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1$$
To pozwala nam stwierdzić, że:
$$n^2+6n+5=(n-(-5))\cdot(n-(-1))=(n+5)(n+1)$$
Zapisalibyśmy więc, że nasza liczba jest równa:
$$3n\cdot(n+1)(n+5)$$
Dla lepszego zobrazowania możemy to sobie nawet przedstawić w taki oto sposób:
$$3\cdot n\cdot(n+1)\cdot(n+5)$$
Krok 2. Wykazanie podzielności przez \(6\).
Widzimy, że nasza liczba na pewno jest podzielna przez \(3\) (świadczy o tym ta trójka, która stoi na samym początku). Powinniśmy teraz dostrzec, że \(n\cdot(n+1)\) to iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych. Taka liczba jest zatem parzysta, czyli podzielna przez \(2\). Wniosek z tego płynie taki, że nasza liczba jest podzielna przez \(3\) i \(2\) jednocześnie, a to oznacza, że będzie także podzielna przez \(6\), co należało udowodnić.
