Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba (2n+5)^2+3 jest podzielna przez 4

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$ liczba $(2n+5)^2+3$ jest podzielna przez $4$.

Rozwiązanie

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy naszą liczbę rozpisać w następujący sposób:
$$(2n+5)^2+3=4n^2+20n+25+3=4n^2+20n+28=4\cdot(n^2+5n+7)$$

Teraz powinniśmy dostrzec, że $n^2+5n+7$ będzie sumą trzech liczb naturalnych, czyli wartość tego całego nawiasu jest dodatnia. Stojąca przed nawiasem czwórka informuje nas więc, że ta cała liczba będzie podzielna przez $4$, a to co jest w nawiasie będzie po prostu wynikiem tego dzielenia, co należało wykazać.

Odpowiedź

Udowodniono, doprowadzając do postaci typu $4(n^2+5n+7)$.

Zadania

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba (2n+5)^2+3 jest podzielna przez 4

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) liczba \((2n+5)^2+3\) jest podzielna przez \(4\).

Rozwiązanie

Odpowiedź