Rozwiązanie
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, liczbę z treści zadania możemy rozpisać w następujący sposób:
$$(2n+1)^2-1=4n^2+4n+1-1= \\
=4n^2+4n=4n(n+1)$$
Nasz zapis moglibyśmy dla lepszego zobrazowania przedstawić nawet jako \(4\cdot n\cdot(n+1)\). W tym zapisie \(n\) oraz \(n+1\) to kolejne liczby naturalne, a wiemy, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest zawsze podzielny przez \(2\). Dodatkowo wyciągając czwórkę przed nawias udowodniliśmy, że liczba jest podzielna przez \(4\). Skoro zatem liczba da się rozłożyć na czynniki równe \(2\) oraz \(4\), to będzie też podzielna przez \(8\), co należało udowodnić.
Czy na maturze możnaby tylko to przekształcić do 4n(n+1) i nie tłumaczyć nic więcej? w sensie czy dostane max punktów za samo przekształcenie? czy muszę opisać dlaczego tak zaisna liczba jest podzielna przez 8?
Można się jeszcze zastanawiać, czy jak np. mamy udowodnić podzielność przez 5 i my tę piątkę przed nawias wyciągniemy, to czy trzeba rzeczywiście pisać wyjaśnienie, bo ewidentnie widać, że uczeń przeprowadził dowodzenie poprawnie. Ale tutaj, z takiego zapisu 4n(n+1) nie wynika skąd wiemy, że to jest podzielne przez 8…