Rozwiązanie
Rozpisując naszą liczbę (i pamiętając o wzorach skróconego mnożenia), otrzymamy taką oto sytuację:
$$(3k+2)^2+(k+3)^2+2k= \\
=9k^2+12k+4+k^2+6k+9+2k= \\
=10k^2+20k+13= \\
=10k^2+20k+10+3= \\
=10\cdot(k^2+2k+1)+3$$
Jeżeli \(k\) jest liczbą naturalną, to wyrażenie \(k^2+2k+1\) jest na pewno dodatnie (bo mamy sumę liczb nieujemnych i na końcu jest jeszcze dodana jedynka). Wyłączenie dziesiątki przed nawias oznacza więc, że liczba jest jak najbardziej podzielna przez \(10\), a \(+3\) na końcu zapisu oznacza właśnie resztę z tego dzielenia, co należało udowodnić.
