Rozwiązanie
Jeżeli przyjmiemy, że \(k\) jest liczbą całkowitą, to liczbę nieparzystą możemy zapisać jako \(2k+1\). Podstawiając teraz tę wartość pod \(n\), otrzymamy:
$$(2k+1)^2+2023= \\
=4k^2+4k+1+2023= \\
=4k^2+4k+2024= \\
=4k(k+1)+2024$$
Przeanalizujmy teraz podaną sytuację, zaczynając od wyrażenia \(k(k+1)\). Jeżeli \(k\) jest całkowitą liczbą parzystą, to \(k+1\) jest liczbą nieparzystą, a iloczyn liczby parzystej i nieparzystej daje wynik parzysty. Analogicznie, gdy \(k\) jest liczbą nieparzystą, to \(k+1\) będzie parzyste, czyli tutaj także iloczyn tych dwóch liczb będzie parzysty.
Możemy więc powiedzieć, że mnożymy \(4\) przez liczbę, która jest na pewno parzysta, a do tego dodajemy \(2024\), które możemy rozpisać jako \(8\cdot253\). Pomnożenie \(4\) przez liczbę parzystą zawsze daje wynik podzielny przez \(8\), zatem liczba \(4k(k+1)+2024\) jest tak naprawdę sumą dwóch liczb podzielnych przez \(8\), co sprawia, że cała liczba też jest podzielna przez \(8\), co należało udowodnić.
czy taka odpowiedź starcza na uzyskanie 2 pkt za całe zadanie? Jest to przeprowadzenie pełnego dowodu, które jest zapisane w odpowiedziach cke?
Tak, to wystarczy na uzyskanie 2 punktów, sprawdzałem nawet z oficjalnym kluczem punktacji :) Powiem szczerze, że jak tak patrzę na historię tego typu zadań na dowodzenie, to wygląda na to, że są one coraz bardziej pokomplikowane, przez co właśnie te wszystkie rozpiski stają się coraz dłuższe (tak jak tutaj) :)
a jeżeli k=-1?
No to zostaje wtedy 2024, które jest podzielne przez 8 :)
Czy może być również odpowiedź 8(½n²+½n+253)
Nie wiem jak otrzymałeś/aś taki wynik, ale nawet jeśli ta postać jest poprawna, to trzeba jeszcze dobrze uzasadnić że ta wartość w nawiasie będzie liczbą całkowitą ;)
Moje autorskie kilkusekundowe rozwiązanie tego zadania. Trochę to dziwne, że „matematyczne tuzy” z CKE tego nie widzą, żaden nauczyciel i korepetytor matematyki również o tym nie wspomina. Niezbędna wiedza potrzebna do rozwiązania tego zadania, to jedynie zauważenie prostego „matematycznego faktu”, że kwadrat każdej liczby nieparzystej jest podzielny przez 8 z resztą 1. Analizując kwadraty liczb całkowitych dawno, dawno temu (jeszcze w szkole podstawowej) sam spostrzegłem tę tożsamość. Moja nauczycielka matematyki (naprawdę bardzo dobra) też tego nie wiedziała. Ktoś może powiedzieć, hola, hola przecież 1 nie dzieli się przez 8 z resztą 1. Interesującą nas tożsamość (którą można łatwo udowodnić) możemy… Czytaj więcej »