Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność a(a+b)+b^2>3ab

Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność \(a(a+b)+b^2\gt3ab\).

Rozwiązanie

Wymnażając nawias i przenosząc wszystko na lewą stronę, otrzymamy:
$$a^2+ab+b^2\gt3ab \\
a^2-2ab+b^2\gt0$$

Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że wartość \(a^2-2ab+b^2\) możemy zwinąć do postaci \((a-b)^2\), zatem zostanie nam nierówność:
$$(a-b)^2\gt0$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Skoro \(a\) oraz \(b\) są liczbami różnymi od zera, to różnica \(a-b\) jest także różna od zera. Wiemy zatem, że w nawiasie znalazła nam się liczba różna od zera, którą podnosimy teraz do kwadratu. Jakakolwiek liczba (różna od zera) podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, co kończy nasze dowodzenie.

Odpowiedź

Wykazano korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments