Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność a(a+b)+b^2>3ab

Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność \(a(a+b)+b^2\gt3ab\).

Rozwiązanie

Wymnażając nawias i przenosząc wszystko na lewą stronę, otrzymamy:
$$a^2+ab+b^2\gt3ab \\
a^2-2ab+b^2\gt0$$

Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że wartość \(a^2-2ab+b^2\) możemy zwinąć do postaci \((a-b)^2\), zatem zostanie nam nierówność:
$$(a-b)^2\gt0$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Skoro \(a\) oraz \(b\) są liczbami różnymi od zera, to różnica \(a-b\) jest także różna od zera. Wiemy zatem, że w nawiasie znalazła nam się liczba różna od zera, którą podnosimy teraz do kwadratu. Jakakolwiek liczba (różna od zera) podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, co kończy nasze dowodzenie.

Odpowiedź

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments