Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x^4+y^4+x^2+y^2≥2(x^3+y^3)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^4+y^4+x^2+y^2\ge2(x^3+y^3)\).

Rozwiązanie:

Całość zadania sprowadza się do tego aby wymnożyć wyrazy po prawej stronie, przenieść je na lewą stronę. Następnie kluczem do sukcesu będzie dostrzeżenie, że powstały zapis można przekształcić, korzystając wzorów skróconego mnożenia:
$$x^4+y^4+x^2+y^2\ge2(x^3+y^3) \\
x^4+y^4+x^2+y^2\ge2x^3+2y^3 \\
x^4+y^4+x^2+y^2-2x^3-2y^3\ge0 \\
x^4-2x^3+x^2+y^4-2y^3+y^2\ge0 \\
(x^2-x)^2+(y^2-y)^2\ge0$$

Każda liczba podniesiona do kwadratu będzie dodatnia, a suma dwóch dodatnich liczb jest także dodatnia. To oznacza, że nierówność jest prawidłowa, co należało udowodnić.

Odpowiedź:

Udowodniono wykorzystując wzory skróconego mnożenia.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.