Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x^4+y^4+x^2+y^2≥2(x^3+y^3)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$, $y$ prawdziwa jest nierówność $x^4+y^4+x^2+y^2\ge2(x^3+y^3)$.

Rozwiązanie:

Całość zadania sprowadza się do tego aby wymnożyć wyrazy po prawej stronie, przenieść je na lewą stronę. Następnie kluczem do sukcesu będzie dostrzeżenie, że powstały zapis można przekształcić, korzystając wzorów skróconego mnożenia:
$$x^4+y^4+x^2+y^2\ge2(x^3+y^3) \\
x^4+y^4+x^2+y^2\ge2x^3+2y^3 \\
x^4+y^4+x^2+y^2-2x^3-2y^3\ge0 \\
x^4-2x^3+x^2+y^4-2y^3+y^2\ge0 \\
(x^2-x)^2+(y^2-y)^2\ge0$$

Każda liczba podniesiona do kwadratu będzie dodatnia lub równa zero, a suma dwóch takich liczb da także wartość dodatnią lub równą zero. To oznacza, że nierówność jest prawidłowa, co należało udowodnić.

Odpowiedź:

Udowodniono wykorzystując wzory skróconego mnożenia.

Zadania

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x^4+y^4+x^2+y^2≥2(x^3+y^3)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^4+y^4+x^2+y^2\ge2(x^3+y^3)\).