Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x^2-6x+y^2-4y+13≥0

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y\) prawdziwa jest nierówność \(x^2-6x+y^2-4y+13\ge0\).

Rozwiązanie

Aby udowodnić, że nasze wyrażenie jest większe lub równe zero musimy doprowadzić zapis do postaci z potęgowaniem, bowiem jakiejkolwiek liczby byśmy nie podnieśli do potęgi, to będzie ona większa lub równa zero. Będziemy więc chcieli "zwinąć" zapis przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Aby tego dokonać musimy zastosować bardzo sprytny zabieg, a mianowicie musimy rozbić liczbę \(13\) na sumę liczb \(9+4\). Całość będzie wyglądać w następujący sposób:
$$x^2-6x+y^2-4y+13 \\
x^2-6x+9+y^2-4y+4 \\
(x-3)^2+(y-2)^2$$

\((x-3)^2\) jest większe lub równe zero oraz \((y-2)^2\) jest większe lub równe zero. Suma dwóch liczb większych lub równych zero jest także większa lub równa zero i właśnie to musieliśmy udowodnić.

Odpowiedź

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Dodaj komentarz