Wskaż poprawną wartość funkcji trygonometrycznej kąta rozwartego alfa

Wskaż poprawną wartość funkcji trygonometrycznej kąta rozwartego \(α\) (rysunek obok).

matura z matematyki

Rozwiązanie

Z tablic matematycznych możemy odczytać, że jeżeli mamy taką sytuację jak na powyższym rysunku, czyli kiedy jedno ramię kąta pokrywa się z osią iksów, wierzchołek kąta znajduje się w miejscu przecięcia się osi układu współrzędnych, a drugie ramię przechodzi przez punkt \(P=(x;y)\), to:
$$sinα=\frac{y}{r} \\
cosα=\frac{x}{r} \\
tgα=\frac{y}{x}$$
gdzie \(r\) to odległość od punktu \(P\) do początku układu współrzędnych, którą możemy policzyć ze wzoru \(r=\sqrt{x^2+y^2}\).

Krok 2. Obliczenie długości \(r\).
W naszym przypadku ramię kąta przechodzi przez punkt \(P=(-4;3)\), czyli \(x=-4\) oraz \(y=3\). Korzystając z podanego powyżej wzoru możemy zapisać, że:
$$r=\sqrt{x^2+y^2} \\
r=\sqrt{(-4)^2+3^2} \\
r=\sqrt{16+9} \\
r=\sqrt{25} \\
r=5$$

Krok 3. Obliczenie wartości poszczególnych funkcji trygonometrycznych.
Wiemy już, że \(x=-4\), \(y=3\) oraz \(r=5\), zatem możemy obliczyć każdą z wartości funkcji trygonometrycznych:
$$sinα=\frac{3}{5} \\
cosα=\frac{-4}{5}=-\frac{4}{5} \\
tgα=\frac{3}{-4}=-\frac{3}{4}$$

Porównując otrzymane wyniki z odpowiedziami widzimy wyraźnie, że prawidłowa jest pierwsza odpowiedź.

Odpowiedź

A

Dodaj komentarz