Własności funkcji – zadania maturalne

D

Zadanie możemy rozwiązać podstawiając współrzędne każdego z punktów do wzoru funkcji. Pierwszą współrzędną podstawiamy w miejsce \(x\), a drugą w miejsce \(f(x)\). Punktem należącym do wykresu będzie ten, który spełni powstałą równość (czyli tak naprawdę wtedy kiedy nie wyjdzie nam równanie sprzeczne).

Można jednak to zadanie zrobić nieco sprytniej, dostrzegając że we wszystkich odpowiedziach pierwszą współrzędną punktu jest \(x=-1\). To oznacza, że nie musimy podstawiać każdego z punktów pod wzór funkcji. Wystarczy tak naprawdę obliczyć wartość \(f(-1)\), zatem:
$$f(-1)=(-1)^2+(-1)-2 \\
f(-1)=1-1-2 \\
f(-1)=-2$$

To oznacza, że druga współrzędna to \(y=-2\), czyli prawidłowa jest ostatnia odpowiedź \((-1;-2)\).

C

Zgodnie z treścią zadania musimy podstawić do wzoru wartość \(x=2\). W ten sposób wyznaczymy poszukiwaną wartość funkcji.
$$f(2)=\frac{2\cdot2}{2-1} \\
f(2)=\frac{4}{1} \\
f(2)=4$$

A

Aby obliczyć wartość \(f(\sqrt{2})\) wystarczy tak naprawdę podstawić \(x=\sqrt{2}\), zatem:
$$f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot\sqrt{2}-8}{\sqrt{2}}$$

Nie możemy skrócić ot tak pierwiastków, bo w liczniku mamy odejmowanie. Można za to pokusić się o np. usunięcie niewymierności z mianownika:
$$f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-\frac{8}{\sqrt{2}} \\
f(\sqrt{2})=\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}-\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
f(\sqrt{2})=\frac{2\cdot2}{2}-\frac{8\sqrt{2}}{2} \\
f(\sqrt{2})=2-4\sqrt{2}$$

C

Naszym zadaniem jest tak naprawdę podstawienie do wzoru funkcji wartości \(x=-\sqrt{2}\) i sprawdzenie jaką wartość otrzymamy, zatem:
$$f(x)=\frac{2x^3}{x^4+1} \\
f(-\sqrt{2})=\frac{2\cdot(-\sqrt{2})^3}{(-\sqrt{2})^4+1} \\
f(-\sqrt{2})=\frac{2\cdot(-2\sqrt{2})}{4+1} \\
f(-\sqrt{2})=\frac{-4\sqrt{2}}{5}=-\frac{4\sqrt{2}}{5}$$

C

Krok 1. Obliczenie wartości kilku argumentów obydwu funkcji.
Spróbujmy obliczyć wartości kilku charakterystycznych argumentów, tak aby móc za chwilę wykonać szkic rysunku obydwu funkcji:
$$f(0)=-5\cdot0+1=0+1=1 \\
f(1)=-5\cdot1+1=-5+1=-4 \\
f(-1)=-5\cdot(-1)+1=5+1=6 \\
\text{oraz} \\
g(0)=5^0=1 \\
g(1)=5^1=5 \\
g(-1)=5^{-1}=\frac{1}{5}$$

Krok 2. Sporządzenie szkicu wykresów obydwu funkcji.
Nanieśmy wyznaczone przed chwilą punkty i sprawdźmy ile punktów wspólnych będą mieć wykresy tych funkcji.



Widzimy wyraźnie, że te dwie funkcje mają jeden punkt wspólny i jest to punkt o współrzędnych \((0;1)\).

C

Skoro punkt \(M\) należy do wykresu funkcji \(f(x)\), to możemy do jej wzoru podstawić współrzędne tego punktu, wyznaczając w ten sposób wartość niewiadomej \(a\). Otrzymamy wtedy:
$$3=(3-2a)\cdot\frac{1}{2}+2 \\
3=1\frac{1}{2}-a+2 \\
3=3\frac{1}{2}-a \\
-\frac{1}{2}=-a \\
a=\frac{1}{2}$$

B

Krok 1. Wypisanie dzielników liczb \(42, 44, 45\) oraz \(48\).
$$D_{42}=\{1,2,3,6,7,14,21,42\} \\
D_{44}=\{1,2,4,11,22,44\} \\
D_{45}=\{1,3,5,9,15,45\} \\
D_{48}=\{1,2,3,4,6,8,12,24,48\}$$

Krok 2. Wybór największego dzielnika każdej z liczb będącego liczbą pierwszą.
Liczba pierwsza to taka, która dzieli się tylko przez jedynkę oraz przez samą siebie.
Największymi dzielnikiem będącym liczbą pierwszą jest:
Dla \(42\) - liczba \(7\)
Dla \(44\) - liczba \(11\)
Dla \(45\) - liczba \(5\)
Dla \(48\) - liczba \(3\)

A

Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to także wartość mianownika musi być różna od zera. W związku z tym:
$$x^2-4x\neq0 \\
x(x-4)\neq0 \\
x\neq0 \quad\lor\quad x-4\neq0 \\
x\neq0 \quad\lor\quad x\neq4$$

Dziedziną tej funkcji będą więc wszystkie liczby rzeczywiste różne od \(0\) i \(4\).

C

Tak naprawdę naszym zadaniem jest sprawdzenie, która prosta (\(y=0\), \(y=1\), \(y=2\), czy \(y=3\)) przetnie wykres narysowanej funkcji w trzech miejscach. Taką prostą będzie oczywiście \(y=2\), stąd też prawidłowa jest odpowiedź trzecia.

A

Musimy sprawdzić współrzędną \(y\) dla dwóch punktów: najniżej i najwyżej położonego. Współrzędna \(y\) najniżej położonego punktu jest równa \(-2\), a najwyżej położonego punktu jest równa \(5\). W związku z tym zbiorem wartości jest przedział \(\langle-2;5\rangle\).

B

Przykładowo zapis \(f(-1)\) oznacza, że musimy odczytać wartość funkcji dla argumentu \(x=-1\). W naszym przypadku \(f(-1)\) jest równe niespełna \(3\). Musimy sprawdzić tak po kolei każdą z par i zweryfikować która nierówność jest prawdziwa:

Odp. A. \(f(-1)\lt f(1)\)
Komentarz: Ta nierówność jest nieprawdziwa, bo \(f(-1)\) to niespełna \(3\), natomiast \(f(1)=-2\).
Odp. B. \(f(1)\lt f(3)\)
Komentarz: Ta nierówność jest prawdziwa, bo \(f(1)=-2\), natomiast \(f(3)=1\), a więc to \(f(1)\) jest mniejsze od \(f(3)\).
Odp. C. \(f(-1)\lt f(3)\)
Komentarz: Ta nierówność jest nieprawdziwa, bo \(f(-1)\) to niespełna \(3\), natomiast \(f(3)=1\).
Odp. D. \(f(3)\lt f(0)\)
Komentarz: Ta nierówność jest nieprawdziwa, bo \(f(3)=1\), natomiast \(f(1)=-2\).

C

Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi \(Y\). Widzimy wyraźnie, że nasz wykres składa się tak jakby z dwóch części, które są ciągłe:
- w pierwszej części ("górnej") funkcja przyjmuje wartości \((1;3\rangle\)
- w drugiej ("dolnej") przyjmuje wartości \(\langle-4;-1\rangle\).

Zbiór wartości tej funkcji jest więc sumą przedziałów: \(\langle-4;-1\rangle\bigcup(1;3\rangle\)

PS. Zwróć uwagę na nawiasy - punkt \((0,1)\) jest na rysunku przedstawiony w formie niezamalowanej kropki, dlatego nawias przy "jedynce" mamy otwarty.

D

Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(x\). Widzimy wyraźnie, że dziedziną funkcji będzie przedział \(x\in(-3;8\rangle\).

A

Zbiór wartości funkcji (a tym samym największą wartość funkcji) odczytujemy z osi \(y\). Krótko mówiąc - szukamy współrzędnej igrekowej punktu, który jest położony najwyżej na wykresie. Tą wartością będzie: \(y_{max}=3\).

D

To zadanie jest wbrew pozorom bardzo podchwytliwe. Patrząc na wykres odruchowo chcielibyśmy zaznaczyć przedział \((-2;2)\), bo mamy niezamalowane kropki, które sugerowałyby nawiasy otwarte. Niestety jest to błędna odpowiedź, a prawidłowym przedziałem jest \((-2;2\rangle\). Dlaczego, skoro kropka przy wartości \(y=2\) jest niezamalowana? A to dlatego, że funkcja owszem nie przyjmuje wartości \(y=2\) dla \(x=0\), ale przyjmuje wartość \(y=2\) dla np. \(x=1\) lub \(x=\frac{1}{2}\).

C

Funkcja jest rosnąca tylko i wyłącznie w przedziale \(\langle5;6\rangle\).

D

Funkcja ta dla argumentu \(x=1\) przyjmuje swoją najwyższą wartość równą \(9\). Ramiona paraboli są skierowane do dołu, a to oznacza, że wartości funkcji dążą do \(-\infty\). Zbiorem wartości tej funkcji jest więc przedział \((-\infty;9\rangle\).

a) \(\langle-2;3\rangle\)
b) \(\langle-2;2\rangle\)

Krok 1. Ustalenie zbioru wartości funkcji \(f\).
Odczytujemy jakie wartości na osi igreków przyjmuje nasza funkcja i widzimy wyraźnie, że wszystkie wartości funkcji mieszczą się w przedziale \(\langle-2;3\rangle\).

Krok 2. Ustalenie miejsc w których funkcja \(f\) jest malejąca.
Teraz szukamy na osi iksów takich argumentów, dla których ta funkcja jest malejąca. Jest tylko jeden taki przedział (więc siłą rzeczy będzie on maksymalnej długości), a tym przedziałem jest \(\langle-2;2\rangle\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie zbiór wartości funkcji (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawnie przedział, w którym funkcja jest malejąca (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

a) Największa wartość funkcji to \(y_{max}=7\).
b) \(x\in(-3;5)\)

Krok 1. Odczytanie największej wartości funkcji \(f\).
Najwyżej położonym punktem na wykresie jest ten o współrzędnych \((6;7)\) w związku z tym największą wartością funkcji jest \(7\).

Krok 2. Odczytanie zbioru rozwiązań nierówności \(f(x)\lt0\).
Interesuje nas teraz informacja dla jakich argumentów \(x\) funkcja przyjmuje wartości ujemne, czyli tak naprawdę kiedy funkcja znalazła się pod osią \(Ox\). Szukanym zbiorem rozwiązań jest więc \(x\in(-3;5)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie podasz największą wartość funkcji (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy podasz zbiór rozwiązań tej nierówności (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.