Rozwiązanie
Krok 1. Ustalenie, kiedy dzienny przychód będzie największy.
\(P(x)\) jest funkcją kwadratową, która jest zapisana w postaci iloczynowej \(P(x)=(70-x)(20+x)\). Wykres tej funkcji będzie parabolą z ramionami skierowanymi do dołu (dobrze to widać w momencie, gdy wymnożymy przez siebie nawiasy - otrzymalibyśmy wtedy postać ogólną, w której na początku znajdzie się \(-x^2\)). Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że w takim przypadku ta największa wartość przyjmowana będzie w wierzchołku.
Musimy więc ustalić jaka jest pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, czyli musimy obliczyć \(p\). Mamy tak naprawdę dwie możliwości. Możemy wymnożyć przez siebie te dwa nawiasy, uporządkować cały zapis do postaci ogólnej i z niej wyliczyć tę współrzędną za pomocą wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\). Ale możemy postąpić jeszcze sprytniej - z postaci iloczynowej bardzo łatwo możemy wyznaczyć miejsca zerowe tej funkcji (wystarczy przyrównać nawiasy do zera), a z własności parabol wiemy, że współrzędna \(p\) będzie średnią arytmetyczną tych miejsc zerowych. I zastosujmy może to drugie podejście skoro jest taka okazja.
Obliczmy zatem miejsca zerowe, czyli sprawdźmy, kiedy \((70-x)(20+x)=0\). Jest to równanie kwadratowe w postaci iloczynowej, więc przyrównujemy nawiasy do zera:
$$70-x=0 \quad\lor\quad 20+x=0 \\
x=70 \quad\lor\quad x=-20$$
Tym samym współrzędna \(p\) wierzchołka paraboli będzie równa:
$$p=\frac{70+(-20)}{2} \\
p=\frac{50}{2} \\
p=25$$
To oznacza, że przychód będzie największy, gdy \(x=25\).
Krok 2. Ustalenie, kiedy dzienny przychód wyniesie \(800\).
Chcemy się dowiedzieć kiedy przychód wyniesie \(800\), czyli musimy rozwiązać następujące równanie:
$$(70-x)(20+x)=800 \\
1400+70x-20x-x^2=800 \\
-x^2+50x+600=0$$
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem standardowo korzystamy z delty:
Współczynniki: \(a=-1,\;b=50,\;c=600\)
$$Δ=b^2-4ac=50^2-4\cdot(-1)\cdot600=2500-(-2400)=4900 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{4900}=70$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-50-70}{2\cdot(-1)}=\frac{-120}{-2}=60 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-50+70}{2\cdot(-1)}=\frac{20}{-2}=-10$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ zgodnie z założeniami \(x\ge0\) i \(x\le60\), zatem zostaje nam \(x=60\).
