Rozwiązanie
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wprowadźmy do zadania oznaczenia wierzchołków dwóch trójkątów (tak aby za chwilę się nie pogubić) i dopiszmy, że wysokość tego mniejszego trójkąta będzie równa \(40-x\):
Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(ABC\).
Na początek obliczmy pole trójkąta \(ABC\). Mamy wszystkie potrzebne dane, ponieważ \(a=360\) oraz \(h=40\), zatem:
$$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot360\cdot40 \\
P_{ABC}=7200$$
Krok 3. Zapisanie równań.
Kluczem do sukcesu będzie dostrzeżenie, że pole trójkąta \(ABC\) jest sumą pól trapezu \(ABED\) oraz trójkąta \(DEC\). Spróbujmy zapisać równania opisujące pola tych dwóch mniejszych figur, korzystając z oznaczeń które pojawiły się w pierwszym kroku.
Trapez \(ABED\) będzie mieć podstawy o długości \(a=360\) oraz \(b=y\), natomiast wysokość to \(h=x\). Jego pole zapisalibyśmy więc jako:
$$P_{ABED}=\frac{1}{2}\cdot(360+y)\cdot x \\
P_{ABED}=(180+\frac{1}{2}y)\cdot x \\
P_{ABED}=180x+\frac{1}{2}xy$$
Trójkąt \(DEC\) będzie mieć podstawę o długości \(a=y\) natomiast wysokość to \(h=40-x\). Jego pole zapisalibyśmy więc jako:
$$P_{DEC}=\frac{1}{2}\cdot y\cdot(40-x) \\
P_{DEC}=20y-\frac{1}{2}xy$$
Wiemy, że pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(7200\) i tym samym jest to też suma pól powierzchni figury \(ABED\) oraz \(DEC\). Zapisalibyśmy zatem, że:
$$P_{ABC}=P_{ABED}+P_{DEC} \\
7200=180x+\frac{1}{2}xy+20y-\frac{1}{2}xy \\
7200=180x+20y \\
20y=-180x+7200 \quad\bigg/:20 \\
y=-9x+360$$
Dodatkowo możemy od razu zapisać, że pole prostokąta wyznaczymy ze wzoru:
$$P=x\cdot y$$
Krok 4. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu przy tego typu zadaniach jest poprawne zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Podstawiając \(y=-9x+360\) do równania \(P=x\cdot y\), otrzymamy:
$$P=x\cdot(-9x+360) \\
P=-9x^2+360x$$
Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni prostokąta można opisać wzorem \(P=-9x^2+360x\). W ten sposób udało nam się zapisać wzór na pole z użyciem tylko jednej niewiadomej. Teraz całość możemy potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości x otrzymamy konkretne pole \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(x)=-9x^2+360x\).
Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Tutaj parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, ponieważ współczynnik \(a=-9\). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):
Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-360}{2\cdot(-9)} \\
x_{W}=\frac{-360}{-18} \\
x_{W}=20$$
Krok 6. Wyznaczenie długości drugiego boku prostokąta.
Wyliczyliśmy, że pole powierzchni będzie największe gdy jeden z boków prostokąta będzie miał długość \(x=20\). Zgodnie z treścią zadania, musimy jeszcze obliczyć długość drugiego boku, zatem korzystając z wcześniej zapisanego równania \(y=-9x+360\), otrzymamy:
$$y=-9\cdot20+360 \\
y=-180+360 \\
y=180$$
Krok 7. Obliczenie obwodu ogrodzenia.
Musimy jeszcze obliczyć obwód ogrodzenia. Jest to dość proste, ale musimy pamiętać, by od obwodu całego naszego prostokąta odjąć długości furtek i bram. Mamy jedną bramę o długości \(10m\) oraz dwie furtki po \(2m\) każda, zatem:
$$Obw=2\cdot180+2\cdot20-10-2\cdot2 \\
Obw=360+40-10-4 \\
Obw=386[m]$$
