Wierzchołki trapezu ABCD mają współrzędne: A=(-1,-5), B=(5,1), C=(1,3), D=(-2,0). Napisz równanie okręgu

Wierzchołki trapezu \(ABCD\) mają współrzędne: \(A=(-1,-5), B=(5,1), C=(1,3), D=(-2,0)\). Napisz równanie okręgu, który jest styczny do podstawy \(AB\) tego trapezu, a jego środek jest punktem przecięcia się prostych zawierających ramiona \(AD\) oraz \(BC\) trapezu \(ABCD\).

Rozwiązanie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Narysujmy sobie układ współrzędnych w którym zaznaczymy wszystkie potrzebne informacje:

wierzchołki trapezu ABCD mają współrzędne

Aby zapisać równanie okręgu potrzebujemy poznać współrzędne jego środka oraz promień okręgu. Aby wyznaczyć współrzędne środka musimy poznać wzory prostych \(AD\) oraz \(BC\), których to punkt przecięcia się jest jednocześnie środkiem okręgu. Długość promienia wyznaczymy za to ze wzoru na odległość punktu od prostej.

Krok 2. Wyznaczenie równania prostych \(AD\) oraz \(BC\).

Skorzystamy ze wzoru na równanie prostej, która przechodzi przez dwa punkty:
Prosta \(AD\):
$$(y-y_{A})(x_{D}-x_{A})-(y_{D}-y_{A})(x-x_{A})=0 \\
(y-(-5))(-2-(-1))-(0-(-5))(x-(-1))=0 \\
(y+5)(-2+1)-(0+5)(x+1)=0 \\
(y+5)(-1)-5(x+1)=0 \\
-y-5-5x-5=0 \\
-y-5x-10=0 \\
y=-5x-10$$

Prosta \(BC\):
$$(y-y_{B})(x_{C}-x_{B})-(y_{C}-y_{B})(x-x_{B})=0 \\
(y-1)(1-5)-(3-1)(x-5)=0 \\
(y-1)\cdot(-4)-2\cdot(x-5)=0 \\
-4y+4-2x+10=0 \\
-4y-2x+14=0 \\
-4y=2x-14 \quad\bigg/:(-4) \\
y=-\frac{2}{4}x+\frac{14}{4} \\
y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$$

Do wyznaczenia wzorów poszczególnych prostych mogliśmy też wykorzystać układ równań, gdzie pod wzór \(y=ax+b\) podstawialibyśmy poszczególne współrzędne, wyznaczając w ten sposób współczynniki \(a\) oraz \(b\).

Krok 3. Wyznaczenie punktu przecięcia się prostych (czyli środka okręgu).

Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań dwóch prostych jest są współrzędne punktu przecięcia się prostych, czyli w tym przypadku będą to współrzędne środka okręgu, czyli naszego punktu \(S\).
\begin{cases}
y=-5x-10 \\
y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}
\end{cases}

Równanie to możemy rozwiązać np. metodą podstawiania, otrzymując wtedy:
$$-5x-10=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2} \\
-5x+\frac{1}{2}x=\frac{7}{2}+10 \\
-4\frac{1}{2}x=13\frac{1}{2} \\
x=-3$$

Wartość współrzędnej \(y\) obliczymy podstawiając \(x=-3\) do jednego z równań:
$$y=-5\cdot(-3)-10 \\
y=15-10 \\
y=5$$

Współrzędne środka okręgu to w takim razie \(S=(-3;5)\).

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).

Potrzebujemy poznać równanie prostej \(AB\), aby móc wyznaczyć odległość punktu \(S\) od tej prostej, dzięki czemu wyznaczymy długość promienia okręgu. Równanie prostej \(AB\) wyznaczymy dokładnie tak samo jak prostych z drugiego kroku, zatem:
$$(y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0 \\
(y-(-5))(5-(-1))-(1-(-5))(x-(-1))=0 \\
(y+5)(5+1)-(1+5)(x+1)=0 \\
(y+5)\cdot6-6\cdot(x+1)=0 \\
6y+30-6x-6=0 \\
6y-6x+24=0 \\
6y=6x-24=0 \quad\bigg/:6 \\
y=x-4$$

Zapiszmy sobie jeszcze postać ogólną tego wzoru, czyli taką gdzie po prawej stronie mamy wartość zero. Jest to konieczne, bo w kolejnym kroku będziemy musieli podstawiać do wzoru współczynniki z postaci ogólnej, zatem:
$$y=x-4 \Rightarrow x-y-4=0$$

Krok 5. Wyznaczenie długości promienia okręgu.

Skorzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej. Odległość punktu \(S=(x_{o};y_{o})\) od prostej opisanej wzorem ogólnym \(Ax+By+C=0\) możemy obliczyć w następujący sposób:
$$r=\frac{|A\cdot x_{o}+B\cdot y_{o}+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \\
r=\frac{|1\cdot (-3)+(-1)\cdot5+(-4)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} \\
r=\frac{|-3+(-5)-4|}{\sqrt{1+1}} \\
r=\frac{|-3-5-4|}{\sqrt{1+1}} \\
r=\frac{|-12|}{\sqrt{2}} \\
r=\frac{12}{\sqrt{2}}=\frac{12\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$$

Uwaga: Gdybyśmy nie pamiętali, że taki wzór znajduje się w tablicach, to moglibyśmy wyznaczyć współrzędne punktu \(E\), który jest punktem styczności okręgu i prostej \(AB\) (patrz: rysunek z pierwszego kroku). Aby wyznaczyć współrzędne tego punktu trzeba byłoby wyznaczyć równanie prostej prostopadłej do prostej \(AB\), która przechodzi przez punkt \(S\). Znając to równanie stworzylibyśmy układ równań tych dwóch prostych prostopadłych, którego rozwiązaniem byłyby współrzędne punktu \(E\), czyli \(E=(3;-1)\). Znając współrzędne punktów \(E\) oraz \(S\) wyznaczylibyśmy długość promienia okręgu ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych.

Krok 6. Zapisanie równania okręgu.

Okrąg o środku \(S=(-3;5)\) oraz promieniu \(r=6\sqrt{2}\) możemy opisać równaniem:
$$(x-(-3))^2+(y-5)^2=(6\sqrt{2})^2 \\
(x+3)^2+(y-5)^2=36\cdot2 \\
(x+3)^2+(y-5)^2=72$$

Odpowiedź:

\((x+3)^2+(y-5)^2=72\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.