Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami

C

Zbiór wartości odczytujemy z osi \(Oy\). Widzimy, że najmniejszą wartością przyjmowaną przez funkcję będzie \(y=-2\), a potem ta funkcja rośnie aż do nieskończoności. W takim razie zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \(\langle-2,+\infty)\).

\(x\in(2,6)\)

Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla argumentów od \(x=2\) (bez tego argumentu, bo dla niego przyjmowana warrtość jest równa \(0\)), aż do argumentu \(x=6\) (także bez tego argumentu). Zapisalibyśmy więc, że wartości ujemne są przyjmowane w przedziale \(x\in(2,6)\).

A. oraz B.

Krok 1. Zapisanie wzoru w postaci iloczynowej.
Idea zadania polega na tym, by z wykresu odczytać kluczowe informacje i za ich pomocą ustalić wzór tej funkcji w postaci iloczynowej oraz kanonicznej.

Zacznijmy od postaci iloczynowej, czyli funkcji typu \(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\), gdzie \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\) to miejsca zerowe funkcji. Z wykresu odczytujemy, że nasza funkcja ma dwa miejsca zerowe i są to \(x_{1}=2\) oraz \(x_{2}=6\). Podstawiając te dane do wzoru, otrzymamy:
$$f(x)=a(x-2)(x-6)$$

Do pełnego wzoru brakuje nam znajomości współczynnika \(a\). Aby go poznać, musimy podstawić współrzędne jakiegoś punktu, przez który przechodzi nasza funkcja. Przykładowo pasuje nam punkt o współrzędnych \((0,6)\), zatem podstawiając jego współrzędne, otrzymamy następującą sytuację:
$$6=a(0-2)(0-6) \\
6=a(-2)(-6) \\
6=12a \\
a=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$$

To oznacza, że pierwszym poszukiwanym wzorem będzie \(f(x)=\frac{1}{2}(x-2)(x-6)\).

Krok 2. Zapisanie wzoru w postaci kanonicznej.
Z wykresu odczytujemy, że wierzchołkiem naszej paraboli jest punkt o współrzędnych \((4,-2)\). Postać kanoniczną zapisujemy jako \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to właśnie współrzędne naszego wierzchołka. Podstawiając zatem \(p=4\) oraz \(q=-2\), otrzymamy:
$$f(x)=a(x-4)^2+(-2) \\
f(x)=a(x-4)^2-2$$

Ponownie brakuje nam współczynnika \(a\), ale to będzie ta sama wartość jak obliczona przed chwilą w postaci iloczynowej, czyli \(a=\frac{1}{2}\). Możemy zatem zapisać, że pełnym wzorem naszej funkcji będzie:
$$f(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-2$$

B

Zapis typu \(g(x)=f(x+1)\) oznacza, że funkcja \(g(x)\) powstała w wyniku przesunięcia funkcji \(f(x)\) o \(1\) jednostkę w lewo. Taka sytuacja znalazła się na wykresie z odpowiedzi B.