W temacie proporcji mówiliśmy przede wszystkim o takich sytuacjach, w których np. wraz ze wzrostem jednej wartości wzrastała druga wartość. Przykładowo jeżeli \(1kg\) mąki pozwala nam upiec \(20\) bułek, to \(5kg\) mąki (czyli pięć razy więcej) pozwoli upiec \(100\) bułek (też pięć razy więcej). Zdarzać się jednak będą sytuacje, w których cała logika układania proporcji będzie zupełnie odwrotna – wraz ze wzrostem jednej wartości będzie spadać druga wartość. Taką sytuację będziemy nazywać właśnie wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.
Przykłady wartości odwrotnie proporcjonalnych
Zanim zaczniemy cokolwiek liczyć, to koniecznie musimy pokazać sobie w jakich to specyficznych sytuacjach będziemy mieć wartości odwrotnie proporcjonalne. Wyobraźmy sobie, że wynajęcie toru na kręgielni kosztuje \(100zł\). Jeżeli tor wynajmą \(2\) osoby, to każda z nich musiałaby się złożyć po \(100zł:2=50zł\). Gdybyśmy jednak wynajęli ten tor w \(5\) osób, to na każdą z osób przypadałby koszt rzędu \(100zł:5=20zł\). Można więc powiedzieć, że im więcej osób, tym koszt wynajęcia toru na osobę jest mniejszy. Wraz ze wzrostem jednej wartości (liczby osób wynajmujących tor), spada druga wartość (czyli koszt na jedną osobę), czyli jest to klasyczna sytuacja, w której wielkości są odwrotnie proporcjonalne.
Możemy podać też inny przykład. Mamy przyczepkę, której ładowność to \(1\) tona. Aby przewieźć \(20\) ton ziemi musimy taką przyczepką zrobić \(20\) kursów. Gdyby ładowność przyczepki była wyższa i wynosiła \(2\) tony, to takich kursów można byłoby wykonać mniej, a dokładnie byłoby to \(10\) kursów. Im większa ładowność przyczepki, tym mniej kursów trzeba wykonać – po raz kolejny mamy więc przykład wielkości odwrotnie proporcjonalnych.
Zapisywanie proporcji i równań
Zapisywanie równań związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi nieco się różni od tego, co omawialiśmy w temacie wartości wprost proporcjonalnych. Przeanalizujmy opisywaną we wstępie sytuację z kręgielni. Jeżeli wypożyczymy tor w kręgielni na \(2\) osoby, to każda z tych osób zapłaci po \(50zł\). Teraz zastanówmy się, ile osób musi wynająć tor aby koszt wynajęcia wyniósł \(10zł\)? Aby poznać odpowiedź na to pytanie, moglibyśmy zapisać następującą proporcję:
\(2\) osoby \(\quad\Rightarrow\quad\) koszt \(50zł\) na osobę
\(x\) osób \(\quad\Rightarrow\quad\) koszt \(10zł\) na osobę
Gdy układaliśmy tego typu proporcje dla wartości wprost proporcjonalnych, to mnożyliśmy podane wartości na krzyż (czyli pisaliśmy, że \(2\cdot10=x\cdot50\)). W przypadku wartości odwrotnie proporcjonalnych (które omawiamy w tym temacie), będziemy mnożyć wartości w linii poziomej, a nie na krzyż – to jest kluczowa różnica! Czyli na podstawie tej proporcji moglibyśmy zapisać, że:
$$2\cdot50=x\cdot10 \\
100=10x \\
x=10$$
To oznacza, że na wynajęcie toru musiałoby się zrzucić \(10\) osób.
Spójrzmy teraz na przykładowe zadania z tego tematu.
Rozwiązanie:
Na podstawie treści zadania możemy ułożyć następującą proporcję:
\(6\) pracowników \(\quad\Rightarrow\quad\) \(14\) dni pracy
\(x\) pracowników \(\quad\Rightarrow\quad\) \(12\) dni pracy
Im więcej pracowników, tym mniej dni potrwa praca, więc mamy tutaj wielkości odwrotnie proporcjonalne. To oznacza, że podane wartości będziemy mnożyć w linii i otrzymamy następujące równanie:
$$6\dot14=x\cdot12 \\
84=12x \\
x=7$$
To oznacza, że trzeba byłoby mieć \(7\) pracowników.
Rozwiązanie:
Na podstawie danych z treści zadania możemy ułożyć następującą proporcję:
\(20\) uczniów \(\quad\Rightarrow\quad\) \(x\) cukierków
\(16\) uczniów \(\quad\Rightarrow\quad\) \(x+2\) cukierków
Są to wielkości odwrotnie proporcjonalne (im więcej uczniów, tym mniej cukierków otrzymał każdy z nich), zatem mnożymy w linii i zapisujemy następujące równanie:
$$20\cdot x=16\cdot(x+2) \\
20x=16x+32 \\
4x=32 \\
x=8$$
To oznacza, że każdy z dwudziestu uczniów otrzymał \(8\) cukierków.
Zobacz także inne tematy związane z proporcjami: