Wiedząc, że kąt alfa jest rozwarty oraz sin^2 alfa=9/25, oblicz tg alfa

Wiedząc, że kąt \(α\) jest rozwarty oraz \(sin^2α=\frac{9}{25}\), oblicz \(tgα\).

Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie wartości sinusa.
Wiedząc, że \(sin^2α=\frac{9}{25}\) możemy bez przeszkód obliczyć wartość samego sinusa:
$$sin^2α=\frac{9}{25} \\
sinα=\frac{3}{5} \quad\lor\quad sinα=-\frac{3}{5}$$

Krok 2. Obliczenie wartości cosinusa.
Korzystając z jedynki trygonometrycznej oraz informacji o tym, że \(sin^2α=\frac{9}{25}\) otrzymamy:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
\frac{9}{25}+cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{16}{25} \\
cosα=\frac{4}{5} \quad\lor\quad cosα=-\frac{4}{5}$$

Z treści zadania wynika, że kąt \(α\) jest rozwarty, a dla kątów rozwartych cosinus przyjmuje ujemne wartości. Zatem dodatnie rozwiązanie musimy odrzucić i zostaje nam \(cosα=-\frac{4}{5}\).

Krok 3. Obliczenie wartości tangensa.
Znając wartość sinusa oraz cosinusa możemy już bez przeszkód obliczyć wartość tangensa:
$$tgα=\frac{sinα}{cosα} \\
tgα=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} \\
tgα=\frac{3}{5}:\left(-\frac{4}{5}\right) \\
tgα=\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{5}{4}\right) \\
tgα=-\frac{3}{4}$$

Odpowiedź

\(tgα=-\frac{3}{4}\)

Dodaj komentarz