Matura podstawowa Wartości odwrotnie proporcjonalne – zadania maturalne Uwaga! Zadania z tego działu nie obowiązują na maturze 2021 :) Wartości odwrotnie proporcjonalne - zadania Zadanie 1. (1pkt) Do wykresu funkcji \(f(x)=\frac{a}{x}\), dla \(x\neq0\) należy punkt \(A=(2,6)\). Wtedy: A) \(a=2\) B) \(a=6\) C) \(a=8\) D) \(a=12\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź D Wyjaśnienie: Skoro funkcja przechodzi przez punkt \(A=(2,6)\), to znaczy że \(f(2)=6\). Musimy więc podstawić \(x=2\) oraz \(f(x)=6\) i w ten sposób wyznaczymy wartość poszukiwanej niewiadomej: $$6=\frac{a}{2} \\ a=12$$ Zadanie 2. (1pkt) Ekipa złożona z \(25\) pracowników wymieniła tory kolejowe na pewnym odcinku w ciągu \(156\) dni. Jeśli wymianę torów kolejowych na kolejnym odcinku o tej samej długości trzeba przeprowadzić w ciągu \(100\) dni, to, przy założeniu takiej samej wydajności, należy zatrudnić do pracy o: A) \(14\) osób więcej B) \(17\) osób więcej C) \(25\) osób więcej D) \(39\) osób więcej Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź A Wyjaśnienie: Wbrew pozorom nie można tego zadania rozwiązać tak jak rozwiązujemy standardowe proporcje. W zadaniu mamy przykład wielkości ODWROTNIE proporcjonalnej, więc metody typu "mnożenie na krzyż" nie zaprowadzą nas do skutecznego rozwiązania. Jak więc to powinniśmy rozwiązać? I sposób: Skoro \(25\) pracowników wykonuje tą pracę przez \(156\) dni, to jeden pracownik potrzebowałby na to: $$25\cdot156dni=3900dni$$ Jeśli chcemy wykonać tę pracę w \(100\) dni to potrzebujemy: $$3900:100=39\text{ [pracowników]}$$ Skoro mamy \(25\) pracowników, a potrzebujemy \(39\), to musimy zatrudnić dodatkowe \(14\) osób. II sposób: Wprowadźmy sobie niewiadomą \("praca"\), która będzie nam symbolizować jak dużo pracy trzeba wykonać. Im więcej osób pracuje, tym czas tej pracy jest mniejszy, zatem: $$\frac{praca}{25}=156 \\ praca=156\cdot25 \\ praca=3900$$ Teraz tą samą pracę chcemy wykonać mając \(25+p\) pracowników (\(p\) to liczba dodatkowych pracowników). Czas tej pracy wyniesie \(100\) dni, zatem: $$\frac{praca}{25+p}=100 \\ \frac{3900}{25+p}=100 \\ 3900=100\cdot(25+p) \\ 3900=2500+100p \\ 1400=100p \\ p=14$$
