Wartości odwrotnie proporcjonalne – zadania maturalne

\(a=12\)

Skoro funkcja przechodzi przez punkt \(A=(2,6)\), to znaczy że \(f(2)=6\). Musimy więc podstawić \(x=2\) oraz \(f(x)=6\) i w ten sposób wyznaczymy wartość poszukiwanej niewiadomej:
$$6=\frac{a}{2} \\
a=12$$

\(14\) osób więcej

Wbrew pozorom nie można tego zadania rozwiązać tak jak rozwiązujemy standardowe proporcje. W zadaniu mamy przykład wielkości ODWROTNIE proporcjonalnej, więc metody typu "mnożenie na krzyż" nie zaprowadzą nas do skutecznego rozwiązania. Jak więc to powinniśmy rozwiązać?

I sposób:
Skoro \(25\) pracowników wykonuje tą pracę przez \(156\) dni, to jeden pracownik potrzebowałby na to:
$$25\cdot156dni=3900dni$$

Jeśli chcemy wykonać tę pracę w \(100\) dni to potrzebujemy:
$$3900:100=39\text{ [pracowników]}$$

Skoro mamy \(25\) pracowników, a potrzebujemy \(39\), to musimy zatrudnić dodatkowe \(14\) osób.

II sposób:
Wprowadźmy sobie niewiadomą \("praca"\), która będzie nam symbolizować jak dużo pracy trzeba wykonać. Im więcej osób pracuje, tym czas tej pracy jest mniejszy, zatem:
$$\frac{praca}{25}=156 \\
praca=156\cdot25 \\
praca=3900$$

Teraz tą samą pracę chcemy wykonać mając \(25+p\) pracowników (\(p\) to liczba dodatkowych pracowników). Czas tej pracy wyniesie \(100\) dni, zatem:
$$\frac{praca}{25+p}=100 \\
\frac{3900}{25+p}=100 \\
3900=100\cdot(25+p) \\
3900=2500+100p \\
1400=100p \\
p=14$$