Czasami pod wartością bezwzględną możemy znaleźć wyrażenie, którego jednym z członów jest pierwiastek. Jak się zachować w takiej sytuacji i jak poprawnie obliczyć wartość bezwzględną?
O tym czym jest wartość bezwzględna mówiliśmy sobie w temacie poświęconym podstawom wartości bezwzględnej. Jeżeli więc chcesz sobie przypomnieć te podstawy, to wszelkie informacje znajdziesz tutaj:
Wartość bezwzględna wyrażenia z pierwiastkami
Kiedy pod wartością bezwzględną znajdują się pojedyncze liczby, to sprawa z wyznaczeniem tej wartości jest bardzo prosta. Wiemy już, ze przykładowo \(|5|=5\) oraz \(|-5|=5\). Jak się jednak zachować w sytuacji, gdy pod wartością bezwzględną znajdą się mniej lub bardziej rozbudowane wyrażenia z pierwiastkami np. \(|\sqrt{3}-1|\) lub \(|\sqrt{5}-3|\)? Aby rozwiązać takie przykłady, musimy wykonać wykonać dwa kroki:
Krok 1. Musimy ustalić znak wyrażenia, które się pod tą wartością znajduje (czyli obrazowo rzecz ujmując – musimy wiedzieć czy pod wartością bezwzględną jest liczba dodatnia czy ujemna).
Krok 2. Jeżeli pod wartością bezwzględną jest liczba dodatnia, to opuszczając wartość bezwzględną przepisujemy całe wyrażenie bez zmian. Jeżeli pod wartością bezwzględną jest liczba ujemna, to opuszczając wartość bezwzględną zmieniamy wszystkie znaki na przeciwne.
Powyższy schemat jest oczywiście uniwersalny (czyli możemy go stosować nie tylko dla przypadków z pierwiastkami). Sprawdźmy jak to wygląda na konkretnych przykładach.
Rozwiązanie:
Krok 1. Ustalenie, czy pod wartością bezwzględną jest liczba dodatnia, czy ujemna.
Wiemy, że \(\sqrt{3}\approx1,73\). To oznacza, że \(\sqrt{3}-1\) to w przybliżeniu \(1,73-1\approx0,73\). Dokładna wartość tego wyrażenia nas nie interesuje – wystarczy nam informacja, że jest to wartość dodatnia.
Krok 2. Opuszczenie wartości bezwzględnej.
Skoro pod wartością bezwzględną jest liczba dodatnia, to opuszczając wartość bezwzględną, wystarczy przepisać występujące liczby. W związku z tym:
$$|\sqrt{3}-1|=\sqrt{3}-1$$
Rozwiązanie:
Krok 1. Ustalenie, czy pod wartością bezwzględną jest liczba dodatnia, czy ujemna.
\(\sqrt{5}\) to nieco więcej niż \(2\), a z pomocą kalkulatora możemy nawet zapisać, że \(\sqrt{5}\approx2,24\). To oznacza, że \(\sqrt{5}-3\) to w przybliżeniu \(2,24-3\approx-0,76\). Wniosek z tego płynie taki, że tym razem pod wartością bezwzględną mamy wartość ujemną.
Krok 2. Opuszczenie wartości bezwzględnej.
Skoro pod wartością bezwzględną jest liczba ujemna, to opuszczając wartość bezwzględną, musimy zmienić wszystkie znaki na przeciwne. Oczywiście możemy to wykonać niemalże w pamięci, ale bardzo dobrą praktyką jest wzięcie całego wyrażenia w zwykły nawias, przed którym dostawimy minus. Cały matematyczny zapis wyglądałby następująco:
$$|\sqrt{5}-3|=-(\sqrt{5}-3)=-\sqrt{5}+3$$
Dla wielu osób ten proces z zamianą znaków wydaje się dość sztuczny i nienaturalny. Zwróć jednak uwagę, że otrzymany wynik \(-\sqrt{5}+3\) to w przybliżeniu \(-2,24+3\approx0,76\), co jest oczekiwanym przez nas wynikiem. Dla lepszego zobrazowania sobie tej sytuacji spróbujmy rozwiązać ten przykład na przybliżonych wartościach. Gdybyśmy od razu zamienili pierwiastek na ułamek dziesiętny, to całe działanie wyglądałoby następująco: \(|-0,76|=-(-0,76)=0,76\).
Rozwiązanie:
Krok 1. Ustalenie, czy pod wartością bezwzględną jest liczba dodatnia, czy ujemna.
\(3\sqrt{2}\) to mniej więcej \(3\cdot1,41\approx4,23\). To oznacza, że wyrażenie \(3\sqrt{2}-5\), czyli \(4,23-5\) jest na pewno ujemne.
Krok 2. Opuszczenie wartości bezwzględnej.
Wiemy już, że skoro pod wartością bezwzględną mamy liczbę ujemną, to musimy dokonać zamiany znaków na przeciwne. W związku z tym:
$$|3\sqrt{2}-5|=-(3\sqrt{2}-5)=-3\sqrt{2}+5$$