Rozwiązanie
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kluczem do sukcesu będzie połączenie punktu \(S\) z punktem \(C\), rysując w ten sposób promień okręgu, który jest jednocześnie przeciwprostokątną trójkąta \(SBC\). Dodatkowo jeżeli bok kwadratu oznaczymy jako \(a\), to powstanie nam taka oto sytuacja:
Zwróćmy uwagę na trójkąt \(SAD\). Jest to trójkąt prostokątny, a skoro jeden z jego kątów ma miarę \(45°\), to będzie to w dodatku trójkąt równoramienny. To pozwala stwierdzić, że \(|SA|=a\), czyli tym samym \(|SB|=2a\).
Krok 2. Obliczenie długości promienia.
Spójrzmy na trójkąt \(SBC\). Jest to trójkąt prostokątny, w którym dolna przyprostokątna ma długość \(2a\), a boczna przyprostokątna ma długość \(a\). Przeciwprostokątną jest odcinek \(SC\), czyli promień okręgu. Skoro tak, to korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że:
$$(2a)^2+a^2=r^2 \\
4a^2+a^2=r^2 \\
5a^2=r^2 \\
r=a\sqrt{5} \quad\lor\quad r=-a\sqrt{5}$$
Długość promienia musi być dodatnia, więc zostaje nam \(r=a\sqrt{5}\).
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni wycinka kołowego.
Znamy długość promienia, więc możemy obliczyć pole całego koła:
$$P=\pi r^2 \\
P=\pi\cdot(a\sqrt{5})^2 \\
P=\pi\cdot a^2\cdot5 \\
P=5\pi\cdot a^2$$
Skoro kąt środkowy ma miarę \(45°\), to wycinek koła stanowi \(\frac{45°}{360°}=\frac{1}{8}\) pola całego koła. Możemy więc zapisać, że:
$$P_{KSL}=\frac{1}{8}\cdot5\pi\cdot a^2 \\
P_{KSL}=\frac{5}{8}\pi\cdot a^2$$
Krok 4. Obliczenie stosunku pól powierzchni.
Na koniec musimy jeszcze obliczyć stosunek powierzchni pola kwadratu (tutaj \(P=a^2\)), względem pola wycinka \(KSL\) (tutaj \(P=\frac{5}{8}\pi\cdot a^2\)). Bardzo łatwo tutaj o pomyłkę, dlatego rozpiszmy to bardzo dokładnie:
$$\frac{a^2}{\frac{5}{8}\pi\cdot a^2}=a^2:\frac{5}{8}\pi\cdot a^2=a^2\cdot\frac{8}{5\pi\cdot a^2}=\frac{8}{5\pi}$$
