Rozwiązanie
Krok 1. Zapisanie współrzędnych punktu \(C\).
Wiemy, że punkt \(C\) leży na prostej \(y=2x+3\). Co wynika ze znajomości tego wzoru? Wynika to, że podstawiając do wzoru argument \(x\) funkcja przyjmuje wartość \(2x+3\). Z tego też względu współrzędne punktu \(C\) możemy zapisać jako \(C=(x;2x+3)\).
Krok 2. Obliczenie długości boku \(AB\).
Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych możemy zapisać, że:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(10-4)^2+(5-3)^2} \\
|AB|=\sqrt{6^2+2^2} \\
|AB|=\sqrt{36+4} \\
|AB|=\sqrt{40}$$
Krok 3. Obliczenie długości boku \(BC\).
Analogicznie jak w poprzednim kroku, podstawiamy do wzoru na długość odcinka współrzędne punktów \(B\) oraz \(C\).
$$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
|BC|=\sqrt{(x-10)^2+(2x+3-5)^2} \\
|BC|=\sqrt{(x-10)^2+(2x-2)^2}$$
Całości dalej rozpisywać nie musimy, a to dlatego że za chwilę będziemy korzystać z Twierdzenia Pitagorasa i tam być może pewne poszczególne długości zaczną się upraszczać.
Krok 4. Obliczenie długości boku \(AC\).
I podobnie jak w poprzednich krokach, tym razem wyznaczymy długość boku \(AC\).
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \\
|AC|=\sqrt{(x-4)^2+(2x+3-3)^2} \\
|AC|=\sqrt{(x-4)^2+(2x)^2}$$
Krok 5. Wyznaczenie współrzędnej iksowej punktu \(C\).
Skoro trójkąt \(ABC\) ma być prostokątny, to znaczy że możemy dla niego zastosować Twierdzenie Pitagorasa. Pojawia się jednak pytanie - który bok jest przeciwprostokątną, bo tak wprost nigdzie nie jest to napisane. Wynika to tak naprawdę z nazewnictwa kąta prostego, zapisanego w treści zadania jako kąt \(ABC\). Zgodnie z zasadami nazewnictwa kątów wiemy, że w takiej sytuacji kąt prosty musi być przy wierzchołku \(B\). To oznacza, że przeciwprostokątną będzie prosta \(AC\). W związku z tym:
$$|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2 \\
(\sqrt{40})^2+\left(\sqrt{(x-10)^2+(2x-2)^2}\right)^2=\left(\sqrt{(x-4)^2+(2x)^2}\right)^2 \\
40+(x-10)^2+(2x-2)^2=(x-4)^2+(2x)^2 \\
40+x^2-20x+100+4x^2-8x+4=x^2-8x+16+4x^2 \\
5x^2-28x+144=5x^2-8x+16 \\
-28x+144=-8x+16 \\
-20x=-128 \\
x=6,4$$
Krok 6. Wyznaczenie współrzędnej igrekowej punktu \(C\).
Wiemy już, że \(x=6,4\). Teraz możemy podstawić naszego iksa do wyrażenia \(2x+3\) i tym samym obliczymy współrzędną igrekową punktu \(C\):
$$y=2x+3 \\
y=2\cdot6,4+3 \\
y=12,8+3 \\
y=15,8$$
To oznacza, że współrzędne punktu \(C\) wynoszą: \(C=(6,4;15,8)\).
Bardzo skomplikowane, dużo łatwiej było by użyć wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty. Wyznaczając prostą AB możemy łatwo obliczyć prostą BC gdyż jest ona prostopadła do poprzedniej po czym z układu równań wykorzystując prostą BC i prostą podaną w treści zadania znaleźć punkt C.
Dokładnie, tak samo to zrobiłem i jak chciałem sprawdzić odpowiedź to nieźle się zdziwiłem.