W układzie współrzędnych narysowano sześciokąt foremny o boku 2 tak, że jednym z jego wierzchołków

W układzie współrzędnych narysowano sześciokąt foremny o boku $2$ tak, że jednym z jego wierzchołków jest punkt $(0,0)$, a jeden z jego boków leży na osi $x$ (rysunek).

Współrzędne wierzchołka $K$ tego sześciokąta są równe:

A. $(3, \sqrt{3})$

B. $(\sqrt{3}, 3)$

C. $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

D. $(3, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W sześciokącie foremnym wszystkie kąty wewnętrzne mają miarę $120°$. Wykorzystując własności kątów możemy sobie narysować następujący szkic:
egzamin ósmoklasisty

Wiemy, że kąt $BAK$ ma miarę $60°$, bo jest to kąt przyległy do kąta $120°$, a suma miar kątów przyległych jest równa $180°$. To z kolei oznacza, że powstał nam klasyczny trójkąt o mierze kątów $30°, 60°, 90°$ z którego własności musimy teraz skorzystać.

Krok 2. Wyznaczenie długości odcinków $AB$ oraz $BK$.
Zgodnie z własnościami trójkątów $30°, 60°, 90°$ możemy zapisać, że długość odcinka $AB$ jest dwa razy krótsza od długości przeciwprostokątnej, czyli:
$$|AB|=2:2=1$$

Dłuższa przyprostokątna jest o $\sqrt{3}$ razy większa od krótszej przyprostokątnej, zatem:
$$|BK|=a\sqrt{3}=1\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3}$$

Krok 3. Zapisanie współrzędnych punktu $K$.
Współrzędną iksową stanowi suma długości boku sześcianu oraz długości dolnej podstawy trójkąta, zatem:
$$x=2+1=3$$

Współrzędna iksowa jest równa długości odcinka $BK$, zatem:
$$y=\sqrt{3}$$

To oznacza, że współrzędne punktu $K$ są następujące:
$$K=(3;\sqrt{3})$$

Zadania

W układzie współrzędnych narysowano sześciokąt foremny o boku 2 tak, że jednym z jego wierzchołków

W układzie współrzędnych narysowano sześciokąt foremny o boku \(2\) tak, że jednym z jego wierzchołków jest punkt \((0,0)\), a jeden z jego boków leży na osi \(x\) (rysunek).

Współrzędne wierzchołka \(K\) tego sześciokąta są równe:

Rozwiązanie

Odpowiedź

W układzie współrzędnych narysowano sześciokąt foremny o boku \(2\) tak, że jednym z jego wierzchołków jest punkt \((0,0)\), a jeden z jego boków leży na osi \(x\) (rysunek). Współrzędne wierzchołka \(K\) tego sześciokąta są równe:

Rozwiązanie

Odpowiedź

W układzie współrzędnych narysowano sześciokąt foremny o boku \(2\) tak, że jednym z jego wierzchołków jest punkt \((0,0)\), a jeden z jego boków leży na osi \(x\) (rysunek).

Współrzędne wierzchołka \(K\) tego sześciokąta są równe: