W układzie współrzędnych na płaszczyźnie dany jest odcinek AB o końcach w punktach A=(7,4), B=(11,12)

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie dany jest odcinek \(AB\) o końcach w punktach \(A=(7,4)\), \(B=(11,12)\). Punkt \(S\) leży wewnątrz odcinka \(AB\) oraz \(|AS|=3\cdot|BS|\). Wówczas:

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
matura z matematyki

Do tego zadania możemy podejść na różne sposoby, a w przypadku zadań zamkniętych będziemy w stanie odpowiedzieć na to pytanie nawet korzystając z dobrego rysunku pomocniczego, bo już po rysunku widzimy, że \(S=(10,10)\). Chcąc jednak podejść do tego zadania nieco bardziej matematycznie, to powinniśmy wyznaczyć sobie środek odcinka \(AB\) (czyli wyznaczyć współrzędne punktu \(P\)), a następnie znając już współrzędne punktu \(P\) będziemy mogli wyznaczyć środek odcinka \(PB\), czyli współrzędne punktu \(S\). Wtedy właśnie otrzymamy sytuację w której \(|AS|=3\cdot|BS|\).

I ten sposób z wyznaczaniem środków odcinków jest najlepszy, ale... tak prawdę mówiąc, to nie musimy obliczać wszystkich współrzędnych. Patrząc się na odpowiedzi widzimy, że w każdej z nich jest inna współrzędna iksowa. W związku z tym obliczając współrzędne punktów \(P\) oraz \(S\) moglibyśmy się ograniczyć jedynie do wyznaczenia współrzędnej iksowej.

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(P\).
Dla treningu wyznaczmy sobie pełne współrzędne naszego punktu \(P\), który jest środkiem odcinka \(AB\). Skorzystamy tutaj ze wzoru:
$$P=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Podstawiając współrzędne znanych nam punktów \(A\) oraz \(B\) otrzymamy:
$$P=\left(\frac{7+11}{2};\frac{4+12}{2}\right) \\
P=\left(\frac{18}{2};\frac{16}{2}\right) \\
P=\left(9;8\right)$$

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(S\).
Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(PB\), zatem korzystając z tego samego wzoru co powyżej otrzymamy:
$$S=\left(\frac{x_{P}+x_{B}}{2};\frac{y_{P}+y_{B}}{2}\right) \\
S=\left(\frac{9+11}{2};\frac{8+12}{2}\right) \\
S=\left(\frac{20}{2};\frac{20}{2}\right) \\
S=\left(10;10\right)$$

Odpowiedź

C

Dodaj komentarz