W trójkąt równoramienny ABC (|AC|= |BC|) wpisano okrąg o środku S. Punkty wspólne okręgu i trójkąta

W trójkąt równoramienny \(ABC\) (\(|AC|= |BC|\)) wpisano okrąg o środku \(S\). Punkty wspólne okręgu i trójkąta oznaczono literami \(M\), \(N\) i \(P\). Uzasadnij, że trójkąty \(ASM\) i \(PBS\) są przystające.

egzamin gimnazjalny

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Na nasz rysunek pomocniczy możemy nanieść trzy kluczowe informacje:
1. Wiedząc, że styczne tworzą z promieniami okręgów kąty proste (wynika to z własności stycznych do okręgu) to możemy nasz rysunek uzupełnić o zaznaczone kąty proste, czyli:
$$|\sphericalangle AMS|=90° \\
|\sphericalangle SPB|=90°$$

2. Wiemy, że trójkąt \(ABC\) jest równoramienny, a skoro tak, to kąty przy jego podstawie mają równą miarę, czyli:
$$|\sphericalangle CAB|=|\sphericalangle ABC|$$

3. Środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(ABC\) jest punkt przecięcia się dwusiecznych kątów tego trójkąta. To oznacza, że:
$$|\sphericalangle MAS|=|\sphericalangle SAP|=|\sphericalangle PBS|=|\sphericalangle SBN|$$

Zaznaczając te informacje na naszym rysunku otrzymamy następującą sytuację:
egzamin gimnazjalny

Krok 2. Udowodnienie, że trójkąty \(ASM\) i \(PBS\) są przystające.
Z naszej analizy oraz z samego rysunku wynika, że trójkąty \(AMS\) oraz \(PBS\) mają dwie jednakowe miary kątów - kąt \(α\) oraz kąt \(90°\). To z kolei oznacza, że wszystkie kąty w tym trójkącie są jednakowe, moglibyśmy nawet dopisać, że:
$$|\sphericalangle ASM|=|\sphericalangle PSB|=β$$

Wiemy już, że te trójkąty są na pewno podobne, ale to jeszcze nie oznacza że są przystające. Te trójkąty będą przystające wtedy, kiedy udowodnimy teraz, że przynajmniej jedna para boków ma równą długość. Pomogą nam w tym odcinki \(MS\) oraz \(SP\), które na pewno są jednakowej długości, bo są to promienie okręgu. To oznacza, że trójkąty \(ASM\) i \(PBS\) są przystające zgodnie z zasadą kąt-bok-kąt.

Odpowiedź

Udowodniono korzystając z własności stycznych do okręgu oraz własności dwusiecznych trójkąta opisanego na okręgu.

Dodaj komentarz