W trójkącie równoramiennym ABC, w którym |AC|=|BC|, poprowadzono dwie wysokości: AD i CE

W trójkącie równoramiennym $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$, poprowadzono dwie wysokości: $AD$ i $CE$. Na rysunku przedstawiono ten trójkąt i zaznaczono w nim niektóre kąty.

Uzasadnij, że kąt $\alpha$ ma miarę $110°$.

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczmy na rysunku kąty proste oraz oznaczmy miejsce przecięcia się wysokości jako punkt $S$:
egzamin ósmoklasisty

Krok 2. Obliczenie miary kąta $ECB$ oraz $CSD$.
Trójkąt $ABC$ jest równoramienny, zatem wysokość $CE$ dzieli nam kąt $ACB$ na dwie równe części. To prowadzi nas do wniosku, że kąt $ECB$ ma także miarę $20°$.

Spójrzmy teraz na trójkąt $SDC$. Znamy już dwie miary kątów w tym trójkącie, zatem kąt $CSD$ będzie mieć miarę:
$$180°-90°-20°=70°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta $\alpha$.
Kąty $CSD$ oraz poszukiwany kąt $\alpha$ to kąty przyległe, zatem łączna miara tych dwóch kątów jest równa $180°$. Skoro tak, to:
$$\alpha=180°-70°=110°$$

Odpowiedź

Uzasadniono, korzystając z własności trójkątów równoramiennych oraz kątów przyległych.

Zadania

W trójkącie równoramiennym ABC, w którym |AC|=|BC|, poprowadzono dwie wysokości: AD i CE